均方誤差

均方誤差（mean-square error, MSE）是反映估計量與被估計量之間差異程度的一種度量。設t是根據子樣確定的總體參數θ的一個估計量，(θ-t)²的數學期望，稱為估計量t的均方誤差。它等於σ²+b²，其中σ²與b分別是t的方差與偏倚。

基本介紹

• 中文名：均方誤差
• 外文名：mean-square error, MSE
• 意義：反映估計量與被估計量差異程度
• 相關概念：估計量、有偏估計、點估計等

名詞介紹

相合估計（或一致估計）是在大樣本下評價估計量的標準，在樣本量不是很多時，人們更加傾向於基於小樣本的評價標準，此時，對無偏估計使用方差，對有偏估計使用均方誤差。

一般地，在樣本量一定時，評價一個點估計的好壞標準使用的指標總是點估計 與參數真值 的距離的函式，最常用的函式是距離的平方，由於估計量 具有隨機性，可以對該函式求期望，這就是下式給出的均方誤差：

均方誤差是評價點估計的最一般的標準，自然，我們希望估計的均方誤差越小越好，注意到

上式說明，均方誤差 由點估計的方差 與偏差 的平方兩部分組成。

如果 是θ的無偏估計，則 ，此時用均方誤差評價點估計與用方差是完全一致的，這也說明了用方差考察無偏估計是合理的。

當 不是θ的無偏估計，就要看其均方誤差 ，即不僅看方差大小，還要看其偏差大小，下面的例子說明在均方誤差的含義下，有些有偏估計優於無偏估計。

公式

一致最小均方誤差估計

定義1 設有樣本 對待估參數θ，有一個估計類，稱 是該類中θ的一致最小均方誤差估計，如果對該類估計中另外任意一個θ的估計 ，在參數空間 上都有

一致最小均方誤差估計通常是在一個確定的估計類中進行的，一致最小均方誤差估計一般是不存在的。

既然一致最小均方誤差估計一般是不存在的，人們通常就對估計提出一些合理性要求，如無偏性就是一個常見的合理性要求。

一致最小方差無偏估計

前面曾指出，均方誤差 由點估計的方差 與偏差 的平方兩部分組成，當 是θ的無偏估計時，均方誤差就簡化為方差，此時一致最小均方誤差估計就是一致最小方差無偏估計。

定義2 設 是θ的無偏估計，如果對於任意一個θ的無偏估計 ，在參數空間 上都有

則稱 是θ的一致最小方差無偏估計，簡記為UMVUE。