四維矢量

四維矢量，是在狹義相對論里，四維矢量 (four-vector) 是實值四維矢量空間裡的矢量。這四維矢量空間稱為閔可夫斯基時空。四維矢量的分量分別為時間與三維位置。在閔可夫斯基時空內的任何一點，都代表一個事件，可以用四維矢量表示。套用洛倫茲變換，而不是伽利略變換 ，我們可以使對於某慣性參考系的四維矢量，經過平移，旋轉，或遞升（相對速度為常數的洛倫茲變換），變換到對於另一個慣性參考系的四維矢量。所有這些平移，旋轉，或遞升的集合形成了龐加萊群( Poincaré group)。所有的旋轉，或遞升的集合則形成了洛倫茲群(Lorentz group)。

基本介紹

• 中文名：四維矢量
• 外文名：Four-dimension vector
• 數學性質：兩個事件之間的矢量差
• 動力學：物體運動的速度隨著時間改變
• 套用學科：數學
• 所屬領域：數學和物理學

數學性質

四維位移定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裡，四維位移可以用一隻從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。關於四維矢量的理論，通常提到的是位移。
透過洛倫茲變換，給予一個事件對於某慣性參考系的四維坐標，即可計算出這事件對於另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很優良的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維矢量，最好都能夠具有這優良的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。

在計算這四維矢量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維矢量仍舊具有這優良的性質。因為，固有時乃是個不變數；改換慣性參考系不會改變不變數。

在閔可夫斯基時空內的任何一點，都可以用四維矢量（一組標準基底的四個坐標） 來表示；其中，上標 標記時空的維數次序。稱這四維矢量為“坐標四維矢量”，又稱“四維坐標”，定義為

；

其中，c 是光速， t是時間， 是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 。

“四維位移”定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖里，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 表示為

。

帶有上標的四維矢量 稱為反變矢量，其分量標記為

。

假若，標號是下標，則稱四維矢量 為協變矢量。其分量標記為

。

在這裡，閔可夫斯基度規 被設定為

。

採用愛因斯坦求和約定，則四維矢量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

。

閔可夫斯基度規與它的“共軛度規張量” 相等：

。

動力學

假設一個物體運動於閔可夫斯基時空。相對於實驗室參考系，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與這物體同樣運動的慣性參考系，稱為靜止參考系。相對於這靜止參考系，這物體的速度為零。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為靜止參考系。隨著這些不斷改換的靜止參考系所測得的時間即為固有時，標記為 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

能量-動量關係式：

使用質能方程 ，

四維動量可以表示為： 。

四維動量與自己的內積為（即p的平方內積）：

。

改以四維速度來計算內積：

。

所以，能量-動量關係式為：

。

電磁學

四維電流密度

在電磁學里，四維電流密度是一個四維矢量，定義為

；

其中，是電荷密度，是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度。四維電流密度與四維速度的關係為

。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

。

這定律也能以四維電流密度表示為

。

從這方程，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。