商空間

線性代數中,一個向量空間V被一個子空間N是將N“坍塌”為零得到的向量空間,所得的空間稱為商空間(quotient space),記作V/N(讀作VN)。

基本介紹

  • 中文名:商空間
  • 外文名:quotient space
  • 領域:數學
  • 性質:反身性,對稱性,傳遞性
  • 公式:V/N
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定義

VK上的一個向量空間,且NV的一個子空間。我們定義在V上定義一個等價類,如果
則令
。即如果其中一個加上
中一個元素得到另一個,則
相關。
的所在等價類通常記作
因為它由
給出。那么商空間
定義為
/
V
下所有等價類集合。等價類上的數乘與加法定義為:
1) 對所有
2)
不難驗證這些運算是良定義的(即與代表元之選取無關)。這些運算將商空間
轉化為K上一個向量空間,成為零類。相對應的,商映射即定義為
與等價類
之映射

性質

(1)反身性:
(2)對稱性: 若
(3)傳遞性: 若

性質推廣

為標準笛卡兒平面,
中過原點的一條直線。則商空間
可與X中與Y平行的所有直線等價。這就是講,集合
的元素是X中平行於Y的元素。這給出了以一種幾何的方式看商空間的方法。
另一個例子是
被前
個標準基向量張成的子空間的商。空間R有所有實數
元組
組成。子空間,與
等價,由只有前
元素是非零
的所有
元組組成。的兩個向量在模去這個子空間的同一個共軛類中若且唯若他們的後
個坐標相等。商空間
/
顯然地同構
更一般地,如果V寫成子空間UW的一個(內部)直和:
則商空間
自然同構於
如果UV的一個子空間,UV中的余維數定義為V/U維數。如果V是有限維的,這就是VU的維數之差:
到商空間
有一個自然滿射,將x送到它的等價類
。這個滿射的(或零空間)是子空間
。此關係簡單地總結為短正合序列:

是一個線性運算元T的核,記作
,是所有
使得
的集合。核是
的一個子空間。線性代數第一同構定理說商空間V/ker(T)同構於
中的像。一個直接推論,對有限維空間的秩-零化度定理V的維數等於核的維數(
的零化度)加上像的維數(
)。
線性運算元
的余核定義為商空間

商空間

定義

如果X是一個巴拿赫空間MX的一個閉子空間,則商X/M仍是一個巴拿赫空間。上一節已經給出商空間一個向量空間結構。我們定義X/M上一個範數為
商空間X/M關於此範數是完備的,所以是一個巴拿赫空間

例子

表示區間[0,1]上連續實值函式的巴拿赫空間。記所有函式
使得
的子空間為M。則某個函式
的等價類由它在0點的值決定,商空間C[0,1]/M同構於R
如果X是一個希爾伯特空間,則商空間X/M同構於M的正交補。

局部凸空間

局部凸空間被一個子空間商還是局部凸的。事實上,假設是局部凸的所以
上的拓撲由一族半範數
生成,這裡
是一個指標集。設
是一個閉子空間,定義
上半範數
是一個局部凸空間,上面的拓撲是商拓撲。
進一步,若X是可度量化的,則
也是;如果X弗雷歇空間
也是。

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