定義
哈代空間是單位圓內一類重要的解析函式空間。設函式f(z)在單位圓盤|z|<1中解析，若：
對一切0≤r<1有界，則稱f(z)屬於函式族
。
族是由哈代(Hardy，G.H.)在1915年首先提出的，並對此做了一系列的研究工作，他證明了著名的凸定理：log M
p(r，f)是log r的
凸函式。
在20世紀上半葉，還有許多數學家，如法圖(Fatou，P.J.L.)、李特爾伍德(Littlewood，J.E.)、里斯(Riesz，F.和Riesz，M.)、賽格(Szego¨，G.)和斯米爾諾夫(Смирнов，В.И.)等人對哈代族進行了研究並取得一系列相當深刻的結果.但那時對H的研究局限於所謂的“硬”分析範圍，如研究H函式的邊界性質及冪級數等，所用的工具也主要是複變函數與實變函式論.到了20世紀50年代，數學家們將
看做度量空間，如對1≤p≤+∞，定義範數‖f‖
p=M
p(1，f)，則
是巴拿赫空間；對0<p<1，對f，g∈H，定義距離：
則是弗雷歇空間。引進
泛函分析等工具，將“軟”“硬”分析結合起來研究空間，20世紀70年代和80年代，對的研究非常活躍，並得到了許多引人注目的結果。如在1971年，美國青年數學家費弗曼(Fefferman，C.)證明了的對偶空間為BMOA空間。
費弗曼主要由於理論的研究，獲得了1978年的
菲爾茲獎。
廣泛套用
理論不僅對分析和函式論(包括泛函分析和
調和分析)本身有著深刻的影響，而且與數學的一些其他分支，如微分方程、機率論及力學等都有交叉聯繫。單位圓盤的
空間的主要研究問題有：邊界性質、積分表示、泰勒係數、結構問題、解析投影運算元、對偶空間、極值問題及插值問題等。
單位圓盤上的
空間可以推廣到平面上任意區域和雙曲型黎曼曲面上，也可推廣到
上去。與
空間有關的重要函式類有奈望林納類N和有界平均振動解析函式類BMOA。可以證明：
設f(z)是單位圓盤D內的解析函式，ζ是∂D上的給定點，如果當z在D內以ζ為頂點的任何角形區域內趨於ζ時，f(z)都趨於一確定值，則稱f(z)在ζ有非切向極限值，記為f(ζ)。1923年，里斯證明了，若f∈H(0<p<+∞)，則f(z)在∂D上幾乎處處有非切向極限值f(e)，且f(e)∈L[0，2π]。同年，里斯還證明了，若f(z)∈H(0<p≤+∞)，f(z)≢0，則f(z)=B(z)g(z)。這裡B(z)是由f(z)在|z|<1內所有零點所構成的布拉施克乘積，而g∈H且g在|z|<1中沒有零點。1929年，斯米爾諾夫進一步地對g進行分解，得到下述結果：若f(z)∈H，f(z)≢0，則：
這裡c是實數，S(z)是奇異內函式，F(z)是外函式，即：
其中μ(t)是非減的有界變差函式，其導函式幾乎處處等於零。
延伸套用
單位圓盤上的解析函式稱為內函式，如果f∈
，且
在∂D上幾乎處處成立。可以證明，f(z)為內函式的充分必要條件是f(z)能寫成如下形式：
這裡c為實數，B(z)為布拉施克乘積，S(z)為奇異內函式。內函式與不變子空間有密切的聯繫。令S為
的位移運算元，即S(f)=zf(z)，f∈
。
的一個子空間M稱為在S下不變，若zM⊂M。1949年，博靈(Beurling，A.)證明了下面的著名定理：H的子空間M在S下不變的充分必要條件是存在內函式G，使得：
看做度量空間，如對1≤p≤+∞，定義範數‖f‖p=Mp(1，f)，則
上去。與
，且
在∂D上幾乎處處成立。可以證明，f(z)為內函式的充分必要條件是f(z)能寫成如下形式：
