司寇倫定理是模型論中的一條重要定理。由於這個定理，在討論問題時可以改換不同基數的模型而不影響所關心的理論T。
基本介紹
- 中文名：司寇倫定理
- 別稱：LST定理
- 提出者：司寇倫
- 套用學科：模型論
正文
模型論中的一條重要定理。它的發展了的形式通常也被稱為勒文海姆-司寇倫-塔爾斯基定理,簡稱LST定理。在一階模型論中，LST定理的含義是：設一階語言L中所能表達的語句個數為 λ（是一個超限數）,如果L中的一個形式理論T有無限模型，則T有基數為任何 α≥λ 的模型。在非一階模型論中， LST定理不一定成立。
由於這個定理，在討論問題時可以改換不同基數的模型而不影響所關心的理論T。例如，在用個體常量0,1；個體變數；函式符號+，×；關係符號=；命題連線詞及量詞所表達的一階語言中,令T表示在對上述諸符號的通常解釋下被整數環 I所適合的一切語句組成的集合（稱為I的完備理論），則由於I是T的無限模型，由LST定理可知T有基數任意大的無限模型。這些模型顯然都與I具有完全相同的一階性質，除I自身外，其他模型都稱為T的非標準模型。同理可知，存在著基數任意大的無限模型，它們分別與有理數域、實數域、複數域等具有完全相同的一階性質。這些非標準模型往往有助於研究通常的標準模型。此外，還可順便看出，任何一個無限模型，如整數環、有理數域、實數域、複數域等都不可能在一階語言範圍內公理化，即不存在一階語句集T1，使整數環是 T1的唯一模型，等等。在公理集合論（見集合論）中，用力迫法可以證明很多集合論命題的和諧性、獨立性，而在套用力迫法構作各種集合論模型時，為了方便，一般都是從一組集合論公理的一個可數模型出發。這種可數模型的存在性，就是在該組公理“有模型存在”的假設下引用 LST定理而得到的。
由於這個定理，在討論問題時可以改換不同基數的模型而不影響所關心的理論T。例如，在用個體常量0,1；個體變數；函式符號+，×；關係符號=；命題連線詞及量詞所表達的一階語言中,令T表示在對上述諸符號的通常解釋下被整數環 I所適合的一切語句組成的集合（稱為I的完備理論），則由於I是T的無限模型，由LST定理可知T有基數任意大的無限模型。這些模型顯然都與I具有完全相同的一階性質，除I自身外，其他模型都稱為T的非標準模型。同理可知，存在著基數任意大的無限模型，它們分別與有理數域、實數域、複數域等具有完全相同的一階性質。這些非標準模型往往有助於研究通常的標準模型。此外，還可順便看出，任何一個無限模型，如整數環、有理數域、實數域、複數域等都不可能在一階語言範圍內公理化，即不存在一階語句集T1，使整數環是 T1的唯一模型，等等。在公理集合論（見集合論）中，用力迫法可以證明很多集合論命題的和諧性、獨立性，而在套用力迫法構作各種集合論模型時，為了方便，一般都是從一組集合論公理的一個可數模型出發。這種可數模型的存在性，就是在該組公理“有模型存在”的假設下引用 LST定理而得到的。
