剛體動力學

一般力學的一個分支，研究剛體在外力作用下的運動規律。它是計算機器部件的運動，艦船、飛機、火箭等航行器的運動以及天體姿態運動的力學基礎。

剛體運動微分方程

剛體平動動力學

剛體的平動是剛體運動的簡單形態。它在動力學上有兩層意義：①當剛體滿足平動的動力學條件時，剛體實際所作的運動；②剛體作一般運動時所分解出的平動部分（見剛體一般運動）。

剛體平動時，其中各質點的軌跡、速度、加速度全一樣，所以剛體的平動可用其質心的運動來代表。套用質心運動定理，可建立剛體平動所應滿足的運動微分方程：

式中M為剛體質量；

為剛體質心的加速度；F為作用在剛體上所有外力的主矢量。

剛體實際作平動的動力學條件是：F必須通過剛體質心，且剛體繞質心的初始角速度為零。當不滿足上述動力學條件時，剛體實際上作一般運動。如將剛體的一般運動分解為平動和對質心的轉動，根據質心運動定理，平動部分仍以（1）作為其運動微分方程。因此，無論從那一層意義上說，剛體平動的運動微分方程和質點的運動微分方程在形式上完全一致。剛體動力學中有特徵的內容乃是對剛體轉動規律的研究。

剛體定軸轉動動力學

剛體定軸轉動是剛體轉動的最簡單形態，以旋轉軸上任一點O為原點，作固定坐標系Oxyz，其中Oz沿旋轉軸方向（圖1）。當剛體以角速度ω

作定軸轉動時，整個剛體對Oz軸的動量矩為：

式中I_z是剛體繞旋轉軸的轉動慣量。套用動量矩定理，可建立剛體定軸轉動的運動微分方程：

式中

為剛體繞定軸轉動的角加速度；M_z為作用在剛體上所有外力對旋轉軸之矩的代數和。剛體定軸轉動微分方程（2）可同質點直線運動的微分方程

逐項類比。同質點質量m對應的量是I_z。m是質點運動時慣性的度量；I_z則是剛體定軸轉動時轉動慣性的度量。這正是I_z 稱為“轉動慣量”的來由。

套用剛體定軸轉動的微分方程（2）可以對物理擺的運動規律、旋轉機械輸入和輸出功率同平衡轉速的關係進行研究。剛體定軸轉動的另一重要研究課題是支承的動載荷。動載荷是與剛體轉動角速度有關的載荷。當剛體既滿足靜平衡——剛體的重心在轉動軸上，又滿足動平衡——旋轉軸是慣性主軸時，支承才不受動載荷的作用。這個結論在工程上有重要價值（見動平衡）。

剛體平面運動動力學

剛體平面運動是機器部件一種常見的運動形態，例如曲柄連桿、滾輪等的運動。過剛體質心作剛體平面運動的固定平面，此平面在剛體上截得一平面圖形。此圖形在上述固定平面上的運動完全刻畫了剛體的平面運動。由運動學可知，剛體的平面運動可由質心C在平面上相對固定坐標系Oxy的運動和剛體繞過C並同固定平面垂直的軸Cz的轉動合成（圖2）。剛體的旋轉軸Cz雖然在空間中變動，但它的方向不變，相對剛體的位置也不變，因而剛體繞Cz軸旋轉的轉動慣量是常值I_σ，繞Cz軸的動量矩為

根據質心運動定理以及繞質心的動量矩定理，可建立剛體平面運動的微分方程：

式中M為剛體質量；F_x 、F_y為作用在剛體上所有外力在x、y軸上投影的代數和；x_σ、y_σ為質心坐標；M_z為所有外力對Cz軸的矩的代數和；

為剛體轉動的角加速度。利用上述運動微分方程並給出剛體運動的初始狀態，就可以求出剛體平面運動的規律。

剛體定點轉動動力學

質點動力學以及所有以上論及的剛體動力學分支都有一個共同的特徵：動力學量（動量或需要的動量矩分量）同相應的運動學量（速度或角速度）之間是乘以標量的關係。但是，剛體定點轉動的動力學量——動量矩矢量L同相應的運動學量——瞬時角速度矢量ω之間不再是乘以標量的簡單關係，而是一種矢量之間的線性變換關係。

假設剛體繞固定點O轉動。考慮剛體的任一質量元△m_i，它的矢徑為r_i，整個剛體對O點的動量矩矢量L可表為：

取同剛體固聯的坐標系Oxyz，根據慣性張量的定義（見慣性橢球），得到剛體繞固定點轉動的重要關係式：

利用上述關係式，將動量矩定理的矢量方程

投影到同剛體固聯的坐標繫上，可以得到剛體繞固定點轉動的一般方程。如果特別選定剛體固聯坐標系Oxyz為剛體對O點的慣性主軸坐標系，則全部慣性積為零。此時可建立著名的剛體繞固定點轉動的歐拉動力學方程組：

結合在一起，就構成了求解剛體繞固定點轉動的封閉的運動微分方程組。它是由六個一階非線性微分方程所組成。從中消去ω_x、ω_y、ω_z，可以直接得到對歐拉角θ、ψ、φ的三個二階非線性微分方程„

尋求上述運動微分方程組的完全積分，一般說來非常困難。如果M_x=M_y=M_z=0，則剛體繞固定點的運動稱為“純慣性運動"，這種運動是可以徹底分析求解的。對於有外力矩的一般情況，剛體的運動非常複雜。僅在剛體的慣性橢球迴轉對稱，而且初始狀態有繞迴轉軸的高速自轉情況下，剛體受外力矩作用下的運動才具有較簡單的規律（見剛體定點轉動解法）。

歷史上曾對剛體在重力作用下繞一固定點轉動的問題進行過長期的研究，即使對這種簡單問題，要找到足夠的積分組來一般性地求解也只有在三種特殊情況下才有可能（見重剛體定點轉動）。

剛體一般運動動力學

剛體一般運動是對慣性坐標系而言的。設C為剛體的質心，Cxyz為同剛體固聯的質心慣性主軸坐標系。因剛體一般運動可分解為平動和繞質心的轉動，故套用質心運動定理和對質心的動量矩定理，可以立即建立剛體一般運動的微分方程組：

平動方程

對質心的轉動方程

式中M_x、M_y、M_z為剛體所受各外力對質心C的力矩分量的代數和。

利用上述運動微分方程組並考慮運動學方程組（5）以及初始條件，即可確定剛體在空間中的一般運動。剛體一般運動的研究對研究各種航行器軌跡和姿態運動之間的相互關係有重要意義。

以上論及的只是單剛體動力學。由於現代科學技術的發展，多剛體系統動力學的研究也正在開展中（見多剛體系統）。

參考文獻

1、詞條作者：陳濱．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：剛體動力學：中國大百科全書出版社，1987 ：168-170頁．