切線曲面

一直母線始終切於一空間曲導線，所形成的曲面為切線曲面，當曲導線為圓柱螺旋線時則形成漸開線螺旋面。它是工程中套用最廣泛的切線曲面。

基本介紹

• 中文名：切線曲面
• 外文名：tangent surface
• 領域：數學
• 形成：直母線始終切於一空間曲導線
• 舉例：漸開線螺旋面
• 相關名詞：曲面切線

簡介

如圖1所示，直母線切一空間曲導線AB於點A，直母線連續運動到素線I B位置，切空間曲導線AB於點I，直母線如此連續運動，並始終保持與曲導線相切所形成的曲面。

圖1 切線曲面

切線曲面定理

定理1

曲線 的切線曲面上的漸近線為直線或平面曲線

證明：曲面的第二基本形式Ⅱ =

由上式知，ds = 0或k = 0或τ = 0。

若ds = 0，則s為常數，v可取任意值，代表的是v—曲線即直母線；若k = 0代表所給的曲線是直線；若τ = 0代表所給的曲線是平面曲線。

定理2

曲線的切線曲面的曲率線為直線或平面曲線。

證明：切線曲面的主方向滿足下面的式子

切線曲面的主方向

化簡得：

上式若成立，則下列四種情況：

（1）k=0

（2）τ=0

（3）ds=0

（4）ds+dv=0

其中至少一種是成立的。

若k = 0，則曲線是直線; 若τ = 0，則曲線是平面曲線; 若s = c1，代表的曲線是曲面的直母線; 若ds + dv = 0，即s + v = c2，同樣代表一條直線。

定理3

曲線Γ: 的切線曲面上的腰曲線為曲線本身。

定理4

Bertrand曲線的切線曲面的曲率線為圓。

證明：根據引理1，Bertrand曲線滿足λk + μτ = 1，定理2中的四種情況可分為兩類: (1)k = 0; (2)τ =0，根據曲率和撓率之間的關係，若k = 0，則可得τ= 0。不滿足上述關係式; 若τ = 0，則k為非零常數，k為非零常數的平面曲線為圓，故Bertrand曲線的切線曲面的曲率線為圓。

定理5

兩條達布曲線對的切線曲面在對應點處直母線成固定角。

證明 記兩條曲線分別為r和 ，對應 的 切 線 曲 面 分 別 為：x(s，v)= r(s)+vα(s) ； 對應點處考慮直母線，則s為常數。對v求導得 ，則切線曲面在對應點處直母線成固定角。則切線曲面在對應點處直母線成固定角。

定理6

Bertrand曲線的切線曲面的的極小軌跡為圓。

證明：由H=0知， ，即k=0或τ=0。

對Bertrand曲線有 代入有兩種可能：

（1）k= 0時，τ為常數，這種情況不可能存在；

（2）τ= 0時，k為常數，即表明所求軌跡為圓。

定理7

Mannheim曲線的切線曲面的的極小軌跡為直線或圓。

證明：由H=0知，，即k=0或τ=0。

對Mannheim曲線有，代入有兩種可能：

（1）k= 0時，τ =0，此時表示的曲線是直線；

（2）τ= 0時，k=0或為非零常數，即所求極小軌跡為直線或圓。