切瓦定理

切瓦定理(Ceva theorem)關於共點線的一個重要定理，是關於三角形在歐幾里德幾何平面的定理。該定理由Giovanni Ceva在1678年在作品《直線論》中發表了這篇論文，其內容與梅內勞斯定理非常相似，僅在方程式符號上有所不同。

基本介紹

• 中文名：切瓦定理
• 外文名：Ceva theorem
• 提出者：Giovanni Ceva
• 提出時間：1678年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：歐幾里德幾何
• 相關術語：Ceva線，Ceva三角形，Ceva共軛

內容

切瓦定理是關於三角形在歐幾里德幾何平面的定理，在三角形ABC中，將線AO，BO和CO從頂點繪製到公共點O（不在ABC的一側），以分別在D，E和F處遇到相對側，段AD，BE和CF稱為切氏線（cevian），然後，使用有符號長度的段，

換句話說，根據線上的某個固定方向上A是在B的左側還是右側，長度AB被認為是正的或負的。例如，當F在A和B之間時，AF/FB被定義為具有正值，否則定義為負。

反過來也是如此：如果分別在BC，AC和AB上選擇點D，E和F，那么

然後AD，BE和CF是並發的，或者全部三個並行。反過來通常作為定理的一部分。

圖1.Ceva定理，三條線在ABC內的點O處並發

切瓦定理與梅內勞斯定理非常相似，它們的方程式僅在符號上有所不同。

證明

首先，左邊的符號是正的，因為所有三個比率都是正的，O在三角形內部的情況（圖1），或者一個是正的而另外兩個是負的，情況O是在三角形外面。

要檢查幅度，請注意給定高度的三角形區域與其基準成比例。所以

因此，

如果A和O位於BC的兩側，則用=號替換-號，得到：

將這三個方程乘以得到：

使用梅內勞斯定理也可以很容易地證明該定理，從三角形ACF的橫線BOE，

從三角形BCF的橫線AOD，

該定理遵循這兩個方程式。

反過來作為推論。設D，E和F分別線上BC，AC和AB上，使得等式成立，AD和BE在O點相交，F'是CO與AB的交點。然後根據該定理，該等式也適用於D、E和F'，比較兩者可得：

但是最多只有一個點可以按給定的比例切割線段，所以F=F'。