分段光滑曲線

分段光滑曲線(piecewise smooth curve)是若干段光滑曲線連結的曲線。設f：[a，b]→R。若存在[a，b]的分法，分點為{t₀，t₁，…，t_n}，a=t₀<t₁<…<t_n=b，使f限制在每個[t_k-1，t_k](k=1，2，…，n)上表示光滑曲線，則f表示的曲線稱為分段光滑曲線。

基本介紹

• 中文名：分段光滑曲線
• 外文名：piecewise smooth curve
• 領域：數學
• 學科：微分幾何學
• 性質：曲線
• 特點：分段光滑

概念

分段光滑曲線(piecewise smooth curve)是若干段光滑曲線連結的曲線。設f：[a，b]→R。若存在[a，b]的分法，分點為{t₀，t₁，…，t_n}，a=t₀<t₁<…<t_n=b，使f限制在每個[t_k-1，t_k](k=1，2，…，n)上表示光滑曲線，則f表示的曲線稱為分段光滑曲線。分段光滑曲線是把有限條光滑曲線依次首尾連結而成的曲線。類似地，可以理解分段C類曲線。延伸至無限的曲線，若任何有界的部分是分段光滑的，則稱為分段光滑的。

光滑曲線

光滑曲線是切線連續變動的曲線。若f：[a，b]→R是C類的，且對所有t∈[a，b]，f′(t)≠0，則f表示的曲線稱為光滑曲線。這時它有連續的單位切向量f′(t)/|f′(t)|(t∈[a，b])，|·|表示歐幾里得範數。有些文獻把C類曲線稱為光滑曲線，這時它有連續切向量f′(t)，但在f′(t)=0處無切向量。延伸至無限遠的曲線，若在任意有界域中的部分光滑，則稱為光滑的。

曲線

曲線，是微分幾何學研究的主要對象之一。直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科。為了能夠套用微積分的知識，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續曲線，因為連續不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因為可能存在某些曲線，在某點切線的方向不是確定的，這就使得我們無法從切線開始入手，這就需要我們來研究導數處處不為零的這一類曲線，我們稱它們為正則曲線。正則曲線才是經典曲線論的主要研究對象。

按照經典的定義，從(a，b)到R₃中的連續映射就是一條曲線，這相當於是說：

(1)R₃中的曲線是一個一維空間的連續像，因此是一維的。

(2)R₃中的曲線可以通過直線做各種扭曲得到。

(3)說參數的某個值，就是說曲線上的一個點，但是反過來不一定，因為我們可以考慮自交的曲線。

微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科。為了能夠套用微積分的知識，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續曲線，因為連續不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因為可能存在某些曲線，在某點切線的方向不是確定的，這就使得我們無法從切線開始入手，這就需要我們來研究導數處處不為零的這一類曲線，我們稱它們為正則曲線。 正則曲線才是經典曲線論的主要研究對象。

曲線：任何一根連續的線條都稱為曲線。包括直線、折線、線段、圓弧等。處處轉折的曲線一般具有無窮大的長度和零的面積，這時，曲線本身就是一個大於1小於2維的空間。微分幾何學研究的主要對象之一。直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。曲線的更嚴格的定義是區間(α，b)到E3中的映射(r:α,b)E₃。有時也把這映射的像稱為曲線。

具體地說，設Oxyz是歐氏空間E3中的笛卡兒直角坐標系，r為曲線C上點的向徑，於是有。上式稱為曲線C的參數方程，t稱為曲線C的參數，並且按照參數增加的方向自然地確定了曲線C的正向。曲線論中常討論正則曲線，即其三個坐標函式x(t)，y(t)，z(t)的導數均連續且對任意t不同時為零的曲線。對於正則曲線，總可取其弧長s作為參數，它稱為自然參數或弧長參數。弧長參數s用 來定義，它表示曲線C從r(α)到r(t)之間的長度,以下還假定曲線C的坐標函式都具有三階連續導數，即曲線是C₃階的。

微分幾何法

用分析方法研究空間幾何性質的數學分支。在古典意義下，微分幾何學研究三維歐幾里得空間中的曲線和曲面在一點鄰近的性質，其發展與分析學和解析幾何學的發展不可分割。它起源於17世紀發現微積分之時，函式與函式的導數概念實質上等同於曲線與曲線的斜率，函式積分在幾何上解釋為一曲線下的面積。牛頓、萊布尼茨對此做了奠基性的工作。法國數學家費馬還較早地研究了光滑平面曲線作切線的方法，成為微積分的先驅之一。曲線的法線、拐點、曲率、曲率圓、漸屈線、包絡線等平面曲線的微分幾何都作為微積分的一部分發展起來，其中荷蘭數學家惠更斯的漸屈線研究(1673)、牛頓的曲率中心概念的引入(1671)、約翰·伯努利的包絡研究成果(1691)頗具代表性。1696年法國數學家洛必達的《闡明曲線的無窮小分析》出版，幫助完成並傳播了平面曲線的理論。1731年法國數學家克萊羅開創空間曲線理論，稱之為“雙曲率曲線”，研究了空間曲線的切線、弧長表達式等問題。1736年歐拉首先引進平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標，開始曲線的內在幾何研究。1745年歐拉出版《無窮分析引論》，介紹了平面和空間圖形的微分幾何。他將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率，引進曲面上的法曲率、總曲率、法曲率的歐拉公式及球面映射等。他還於1775年給出關於扭曲線理論的完整論述，並與約翰·伯努利、丹尼爾·伯努利一起探討測地線，將測地線描述為某些微分方程的解。1760年歐拉在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面理論，得到歐拉定理等結果，成為微分幾何發展的里程碑。後來蒙日不僅創立了畫法幾何學，還於1807年出版了關於曲線和曲面的第一部獨立的著作《分析學在幾何中的套用》。他還獨立研究了可展曲面的課題，將同一個問題分別置於幾何和分析領域進行討論，並肯定了這樣做的好處，振興了綜合幾何學。蒙日的學生迪潘在《幾何學的發展》(1813)中論述了曲面上的共軛漸近線和迪潘指標線，在《幾何學和力學的套用》中推廣了蒙日的線匯結果。19世紀中期，弗雷內得出曲線的基本微分方程，被稱為弗雷內公式。1887—1898年達布創造空間曲線的活動標架概念，詳細討論了曲面理論和曲線坐標，從而完整地建立起曲線理論。