極大積分流形

極大積分流形(maximal integral manifold)是某種意義下為極大的積分流形。設(N，ψ)是流形M的分布D的連通積分流形，且其像不是D的其他連通積分流形的真子集，則稱(N，ψ)為D的極大積分流形。

基本介紹

• 中文名：極大積分流形
• 外文名：maximal integral manifold
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：流形上的分析(流形上的微積分)
• 相關概念：弗羅貝尼烏斯定理

定義

設是定義在維光滑流形上的維光滑分布，設是分布的一個連通的積分流形，並且它的象不是的另一個連通積分流形的真子集，則稱是的極大積分流形。

相關定理

定理1 (Frobenius定理) 設是定義在開子集上的維光滑分布，如果滿足Frobenius條件，則在每一點，存在局部坐標系，使得，並且

定理2 設M是具有第二可數公理的m維光滑流形，是M上的h維光滑分布，如果滿足Frobenius條件，則對於任意一點，必存在的唯一的一個極大積分流形經過點p，並且的經過點p的每一個連通積分流形必包含在這個極大積分流形內。

下面敘述關於定理證明的大意。

根據Frobenius定理，在M上存在一族局部坐標系，其中構成M的可數開覆蓋，且在中的坐標面

是的h維積分流形。

設N是連通的h維光滑流形，且是的積分流形，即

根據的連續性，若，則有點p在N中的連通鄰域V，使得，故包含在的某個坐標面(1)內，設q是N上另外一點，C是聯結p，q的分段光滑曲線，則C可以用有限多個如上所述的鄰域V覆蓋住。換句話說，N上任意一點q都能用分段光滑曲線與點p連結起來，並且其中每一段光滑曲線都是的一維積分流形，即有[0，1]的分割

使得每一段曲線是光滑的，並且是的一維積分流形。

上述討論啟發我們如何去構造分布的經過點的極大積分流形。設，令

={：q能用分段光滑曲線與p連結，且每段光滑曲線是的一維積分流形)． (2)

在K上能引進光滑流形結構，使之成為h維連通光滑流形，並可證明是的經過點p的極大積分流形，這裡是包含映射。

事實上，若，則q必屬於某個，於是坐標面

的含有q的連通分支必包含在K內，將該連通分支取為點q在K中的坐標鄰域，且以

為其中的局部坐標。可以驗證，這樣給出的坐標鄰域構成K的-坐標覆蓋，從而使K成為h

維光滑流形，且是的積分流形。根據K的定義以及前面的討論，若是的經過

點p的連通積分流形，則必有，因此K是極大的。

由定理2可見，在M中存在一族h維連通的、單一浸入的子流形，滿足如下條件：

(1)對於M上任意一點p，必有族中的一個子流形通過它；

(2)存在點p的局部坐標系，使得在族中的子流形滿足時，的連通分支為

這樣的子流形族稱為M的一個葉狀結構(foliation)，其中的每一個子流形稱為葉(leaf)，因此，定理2的意義是：M上滿足Frobenius條件的h維分布在M上決定了一個葉狀結構。關於葉狀結構的拓撲和幾何的研究，是60年代以來一個重要的課題。