分層建模

分層建模，是將多輸入多輸出建模問題分解為一系列單輸入多輸出的數據建模問題，提高多輸入多輸出系統建模的效率和準確性。該模型適宜描述結構複雜的系統，可以包含較多的輸入變數，有利於充分利用現有的系統的信息。

基本介紹

• 中文名：分層建模
• 外文名：layered modeling
• 學科：控制科學與工程
• 適用系統：多輸入複雜系統
• 基本釋義：分解系統為多個單入單出問題
• 優勢：更具普遍性

基本概念

分層建模，是將多輸入多輸出建模問題分解為一系列單輸入多輸出的數據建模問題，提高多輸入多輸出系統建模的效率和準確性。分層建模方法克服了包括被認為是建模障礙的多元共線性在內的一類大系統中普遍存在的困難。模型中所包含的變數比其它方法所建立模型包含的變數多許多。因而模型更具有普遍性，用於預測及用於大系統的全面分析效果都好些。

數學建模概述

對於樣本集合

其中 為系統的輸入變數， 為系統的輸出變數,多輸入多輸出系統的數據建模問題就是確定一個向量函式F(X)，使得樣本集合D滿足這一映射關係F， ，即

在一定的精度要求下,系統變數之間的函式關係可以近似為Y=F(X)，即

數據建模問題就是獲得這種映射關係，使得在某種意義下， F是系統的最佳逼近。通常是選擇一組基函式進行線性組合，給出F的一種含參變數的表達式，然後通過最小二乘法或者其它方法確定參變數的係數。數據進化建模則採用遺傳編程算法自動生成映射關係的結構。同時藉助於數值最佳化方法確定模型中的參變數，從已有解出髮根據個體的適應度信息指導搜尋過程向改進解的方向發展。使生成的模型個體按照一定的指標逼近樣本數據。並進一步分析所獲取的模型是否真實地反映所觀測的系統。

分層建模方法

對於數據建模問題，如果輸入和輸出變數是多維的，直接在多維模型集中搜尋和生成問題的最優模型，問題的難度增大，計算的效率也顯著降低。可以從兩個方面將建模問題進行簡化，以降低問題的複雜程度：

（1）引入問題的先驗知識模型，擴充可行模型的空間域，提高問題可行解集的搜尋機率；

（2）將多輸入多輸出建模問題分解為一系列單輸入多輸出，甚至是單輸入單輸出的數據建模問題，縮減每次建模時模型集的維數，重複地在單輸入模型集中進行搜尋和組合函式式，顯著地降低模型搜尋的空間，提高搜尋效率。

從大量的工程數據或圖表中可以看到，在不同的工作條件下可以獲得大量的數據，曲線形狀比較接近，這些數據可以用一組相同的函式模型來表示，只是模型的參數不同，構成函式模型族。

數學描述

下面引入層函式的定義，對多維函式進行分解。

層函式：對於任意一個連續的n 維輸入向量函式Y= F(x1，x2，… ，xn) (n>1)，由原函式推導的一維輸入變數函式稱為層函式，Y=G( xk，θ)，其中θ為層函式的參數向量， 為層函式的參向量函式，是其它輸入變數的函式。

除了在某些特殊點下，函式模型可能產生退化現象外，函式的結構基本上保持不變。因此根據一組樣本數據總是能夠找到一個反映輸入變數和輸出變數之間函式關係的通式，當其它輸入變數的取值改變時，只需要調整參變數的值，使這個通式能夠表示所有的樣本數據。

對於樣本數據集D，輸入變數 和輸出變數 ，為了確定X 和Y之間的函式關係Y=F ( x1，x2，… xn ) ( n> 1)，先固定變數x2，x3，… ，xn為常數，組織數據集，尋找Y和x1之間的函式關係，並且用帶參的結構表示。

即得到第1層函式式Y= G1 (x1 ，θ1) ，其中θ1= (θ11 ，θ12 ，… ，θ1m)為1層函式的參數向量。

輸入變數x 2 ，x 3 ，… ，xn 取不同的數值時，保持Y= G1 (x1 ，θ1)這個含參數的函式式，對參數向量進行最佳化，得到相應的參數向量θ1 的值。整理參數向量θ1 和其餘的輸入變數x2，x3，…，xn 的數據，重組建模的數據集， ，參數向量作為降維建模系統的輸出變數，進一步獲得參數向量與其它輸入變數之間的函式關係。重複以上過程，直至得到原系統的最後一個輸入變數與上一層函式模型中參數向量之間的函式關係式。將各層函式模型中引入的參變數逐層用下一層函式式所取代，得到多輸入多輸出數據的模型。其建模過程可以表示為：

算法結構

數據分層建模算法的結構描述如下：

PROCEDURE多輸入多輸出數據分層建模算法

{

輸入建模數據集

For k= 1: 1 : dimension-input-variable

{

選擇本層函式的輸入變數

任意選取一組數據

數據進化建模

將模型轉換成含參數的形式

for j= 1: 1: Mk

{

參數最佳化θk=Opt {Fk(xk ,θk )| }

}

重構建模數據集

數據集分組

}

for k= (dimension-input-variable-1) : -1: 1

{
θk+ 1= Yk

替換模型中的參數Yk= Fk ( xk ,θk )

}

}

優點

分層建模方法的優點是：

（1）可以直接根據數據將系統分成若干個部分，分成二個層次，而且如果條件允許，用本方法還可建立更多層次的系統模型。顯然，這樣的模型一般更接近於實際系統。這樣的模型對於一些缺少先驗知識的大系統的定性定量分析是有益的。

（2）由於分二個層次，分二次估計參數，因而分散了系統辨識的難點，可以比較容易辨識結構比較複雜的模型，不同結構的子模型（第一個層次）可以升存於同一個模型之中，這樣就大大擴大了可辨識模型的範圍。

（3）分層建模方法克服了包括被認為是建模障礙的多元共線性在內的一類大系統中普遍存在的困難。模型中所包含的變數比其它方法所建立模型包含的變數多許多。因而模型更具有普遍性，用於預測及用於大系統的全面分析效果都好些。

（4）分層建模可以充分利用現有的統計資料，尤其適用於數據長度一般，但截面資料豐富的情況，因為充分利用截面資料彌補了歷史資料的欠缺，因而對於大系統的辨識及參數估計都有較大的影響。

（5）由於尋找 的工作，所有的建模工作都要做，而且為了尋找合適的模型， 這樣的函式都要找多個，進行比較，以決定取捨，所以分層建模方法所新增加的工作，主要在第二個層次綜合。個柱面方程，若採用準則C是複雜一些，計算量比較大，但若採用準則A、B ，則仍是很簡單的，總之，增加的工作量不大，計算機上進行，工作增量是可以接受的。