共軛複數

共軛複數

共軛複數,兩個實部相等,虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。當虛部不為零時,共軛複數就是實部相等,虛部相反,如果虛部為零,其共軛複數就是自身(當虛部不等於0時也叫共軛虛數)。複數z的共軛複數記作z(上加一橫),有時也可表示為Z*。同時, 複數z(上加一橫)稱為複數z的復共軛(complex conjugate)。

基本介紹

  • 中文名:共軛複數
  • 外文名:conjugate complex number
  • 類別:定律
  • 類型 :概念
  • 學科:數學
  • 套用:初等幾何問題
公式,代數特徵,加法法則,減法法則,乘法法則,除法法則,開方法則,共軛法則,運算特徵,模的運算性質,

公式

根據定義,若z=a+bi(a,b∈R),則
=a-bi(a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱(詳見附圖)。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共軛複數,它們的實部相等,虛部互為相反數。在複平面上,表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱,而這一點正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做"軛"。如果用z表示x+yi,那么在z字上面加個"一"就表示x-yi,或相反。
共軛複數有些有趣的性質:
另外還有一些四則運算性質。

代數特徵

(1)|z|=|
|;
(2)z+
=2a(實數),z-
=2bi;
(3)z·
=|z|2=a2+b2(實數)。

加法法則

複數的加法法則:設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和,它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

減法法則

兩個複數的差為實數之差加上虛數之差(乘以i)
即:z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法則

複數的乘法法則:把兩個複數相乘,類似兩個多項式相乘,結果中i2 = -1,把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數
即:z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法則

複數除法定義:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的複數x+yi(x,y∈R)叫複數a+bi除以複數c+di的商運算方法:將分子和分母同時乘以分母的共軛複數,再用乘法法則運算。
即:

開方法則

若zn=r(cosθ+isinθ),則
(k=0,1,2,3……n-1)

共軛法則

z=x+iy的共軛,標註為z*就是共軛數z*=x-iy
即:zz*=(x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即,當一個複數乘以他的共軛數,結果是實數。
z=x+iy 和 z*=x-iy 被稱作共軛對。

運算特徵

(1)
(2)
(3)
(4)
(z2≠0)
總結:和(差、積、商)的共軛等於共軛的和(差、積、商)。

模的運算性質

① | z1·z2| = |z1|·|z2|
②┃| z1|-| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
③| z1-z2| = | z1z2|,是複平面兩點間距離公式,由此幾何意義可以推出複平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線
共軛複數
表示複數z的共軛複數,
表示複數z的共軛複數的共軛複數,即
=z。

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