共軛復根

共軛復根是一對特殊根。指多項式或代數方程的一類成對出現的根。若非實複數α是實係數n次方程f(x)=0的根，則其共軛複數α*也是方程f(x)=0的根，且α與α*的重數相同，則稱α與α*是該方程的一對共軛復（虛）根。

共軛復根經常出現於一元二次方程中，若用公式法解得根的判別式小於零，則該方程的根為一對共軛復根。

基本介紹

• 中文名：共軛復根
• 外文名：conjugate roots
• 定義：方程的一對互為共軛複數的根
• 產生：通常在一元二次方程中
• 範疇：複數範圍
• 領域：數學、信號與系統等

定義

方程兩個互為共軛複數的根，稱為方程的一對共軛復根。

通常出現在一元二次方程中。若根的判別式 ，方程有一對共軛復根。

根據一元二次方程求根公式韋達定理： ，當 時，方程無實根，但在複數範圍內有2個復根。復根的求法為 （其中 是虛數， ）。

由於共軛複數的定義是形如 的形式，稱 與 為共軛複數。

另一種表達方法可用向量法表達： ， 。其中 ，tanΩ=b/a。

由於一元二次方程的兩根滿足上述形式，故一元二次方程在 時的兩根為共軛復根。

根與係數關係： ， 。

套用

常係數齊次線性微分方程

如果P(x)，Q(x)都是x的函式。方程的通解一般來講是不容易求出的，當P(x)，Q(x)為常數時，微分方程的求解方法如下：

該方程稱為二階常係數齊次線性方程。當r為常數時，的各階導數都只相差一個常數因子。設，將其代入方程(1)，得：

消去e^rx，得微分方程(1)的特徵方程為：

r是特徵方程(2)的解的充要條件是e^rx是微分方程(1)的解。

若方程(2)有一對共軛的復根時，方程(1)的通解為：

拉式反變換

對線性系統而言，回響的象函式F(s) 常具有有理分式的形式，它可以表示為兩個實係數的s的多項式之比，即

式中，m和n為正整數，若m <n，F(s)為有理分式。對此形式的象函式可以用部分分式展開法（或稱分解定理）將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。

若D(e)=0具有共軛復根，由於D(s)是s的實係數多項式，若D(s)=0齣現復根，必然是成對共軛。設D(s)=0中含有一對共軛復根，如和，則F(s)的展開式中將含有如下兩項，可得對應係數K₁和K₂也必為共軛複數，即有

因而對應的反變換為：

Jury陣元素

如果實係數多項式，n≥2m+1，a_n>0，有2m對模長等於1的共軛復根（不等於1和-1），其餘n−2m個根的模長都小於1，則的Jury陣中的元素之間滿足：n=2m+1時下列條件①②③⑤⑥成立，n>2m+1時條件①②③④⑤⑥成立。

①

②

③

④

⑤

⑥

離散系統

引理：實係數多項式的兩個根是一對模長為1的共軛復根（不等於1和-1）的充要條件是：

①

②

定理：實係數多項式有一對模長等於1的共軛復根（不等於1和-1），其餘n-2個根的模長都小於1的充要條件是：n=3時下列條件①②③⑤成立；n>3時下列條件①②③④⑤成立：

①

②

③

④

⑤