共尾度(cofinality)亦稱共尾性，對極限序數的一種刻畫。設α是極限序數，使α是長度為θ的遞增序數序列的極限的最小的序數θ稱為α的共尾度，記為cf(α)。即cfα=min{θ|存在遞增θ序列〈αξ：ξ<θ〉，且limξ→0αξ=α}。非極限序數的共尾度定義為：cf(0)=0，cfα+=1。例如，cf(ω+ω)=ω，cf(ωω)=ω，cf(ω)=ω。
基本介紹
- 中文名：共尾度
- 外文名：cofinality
- 別稱：共尾性
- 所屬學科：數學（集合論）
- 簡介：對極限序數的一種刻畫
基本介紹,共尾度的性質,
基本介紹
共尾度是公理集合論術語，指良序集或線性序集的一個無界子集的序型。
設〈A，R〉是線性序集，且B⊆A，如果ᗄx∈A(x∈B∨∃ y(xRy))，則稱B為A的共尾子集(通常稱為A的無界子集)。
對於包含一個可良序化的共尾子集的線性序集，定義它的共尾度為同構於它的一個共尾子集的最小序數。例如，自然數集是有理數集的可良序化的共尾子集，故有理數集有共尾度。實際上，有理數集的共尾度為ω。
任意一個良序集，特別地，每一個序數，都有共尾度。
如果假定選擇公理，則每一個線性序集都有共尾度。
線性序集(A，R)如果有共尾，則它的共尾度記為cf(A)，設α為序數，則cf(α)≤α。例如，後繼序數α+1的共尾度為1，ω的共尾度cf(ω)=ω，一般地，如果B是線性序集(A，R)的共尾子集，則B有共尾度，若且唯若A有共尾度，且cf(B)=cf(A)。
共尾度的性質
序數的共尾度有下列性質：
1.對任何極限序數α，共尾度cf(α)是極限序數，並且cf(α)≤α，等號成立時α是基數.
2.cf(cf(α))=cf(α)，且cf(α)是基數.
3.對極限基數
，有cf()=cf(α).
4.若α是極限序數，α>0，則：
1) 當Aα， sup A=α時，A的序型
2) 若β0≤β1≤β2≤…≤βλ≤…(λ<γ)是α內的不降γ序列，並且
βλ=α，則cf(γ)=cf(α).
5.對任何無窮基數α，有α<αcf(α)。
