八元數

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封John Graves給哈密頓的信中。後來八元數由凱萊在1845年獨自發表。凱萊發表的八元數和John Graves給哈密頓的信中所提及的並無關係。

八元數可以視為實數的八元組。每一個八元數都是單位八元數{1,i,j,k,l,il,jl,kl}的線性組合。也就是說，每一個八元數x都可以寫成

其中係數x_a是實數。

八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數(a,b)和(c,d)的乘積定義為：

其中

表示四元數z的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i、j和k的圓也是一條直線），稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於Im(O)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。

八元數

的共軛為：

共軛是O的一個對合，滿足

（注意次序的變化）。

x的實數部分定義為½(x+x) =x₀，虛數部分定義為½(x-x)。所有純虛的八元數生成了O的一個七維子空間，記為Im(O)。

八元數x的範數定義為：

在這裡，平方根是定義良好的，因為

總是非負實數：

這個範數與R上的標準歐幾里得範數是一致的。

O上範數的存在，意味著O的所有非零元素都存在逆元素。x≠ 0的逆元素為：

它滿足

。

八元數的乘法既不是交換的：

也不是結合的：

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上，我們可以證明，由O的任何兩個元素所生成的子代數都與R、C或H同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。

八元數確實保留了R、C和H共同擁有的一個重要的性質：O上的範數滿足

這意味著八元數形成了一個非結合的賦范可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質。它們都有零因子。