一般的，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。
基本介紹
- 中文名：全集
- 外文名：U
- 包含：研究對象和集合
- 集合表示：一般為圓形
- 套用：集合論和數學基礎的套用
定義,在特定場合下,在一般數學中,在集合論中,
定義
數學上，特別是在集合論和數學基礎的套用中，全類（若是集合，則為全集）大約是這樣一個類，它（在某種程度上）包含了所有的研究對象和集合。
在特定場合下
這個一般概念有一些精確的版本。 最簡單的可能就是，任意集合都可能是全集。當研究一個特定集合的時候，這個集合就是全集。 若研究實數，則所有實數的集合實數線R就是全集。 這是康托爾在1870年代和1880年代運用實分析第一次發展現代樸素集合論和集合的勢的時候默認的全集。 康托爾一開始只關心R的子集。
這種全集概念在文氏圖的套用中有所反映。 在文氏圖中，操作傳統上發生在一個表示全集U的大長方形中。 集合通常表示為圓形，但這些集合只能是U的子集。 集合A的補集則為長方形中表示A的圓形的外面的部分。 嚴格地說，這是A對U的相對補集U\ A；但在U是全集的場合下，這可以被當成是A的絕對補集A。 同樣的，有空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。 沒有全集，空交集將是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即 U）下的所有東西組成的集合。
這種慣例在基於布爾格的代數方法研究基礎集合理論時非常有用。 但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裡所有集合的類並不是布爾格，而僅僅是相對有補格。 相反，U的冪集，即U的所有子集組成的集合，是一個布爾格。 上述的絕對補集是布爾格中的補運算；而空交集U則作為布爾格中的最大元（或空交）。 這裡，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的並集）的德·摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。
在一般數學中
一旦考慮給定集合 X的子集（在康托爾的例子中，X= R），就會進一步關心X的子集組成的集合。 （例如：X上的一個拓撲就是一個 X的子集組成的集合。） 這些不同的X的子集組成的集合本身並不是X的子集，卻是 X的冪集PX的子集。 當然，這還沒有完；可以進一步考慮 X的子集組成的集合所組成的集合，等等。 另一個方向是：可以關心笛卡爾積X× X，或從 X映射到其自身的函式。 那么，可以得到笛卡爾積上的函式，或從X映射到X× PX的函式，等等。
這樣，儘管主要關心的是X，仍然需要一個比X大很多的全集。 順著上面的思路，可能需要X上的超結構。 這可以通過結構遞歸來定義，如下：
設 S0X為X自身。設 S1X為X和 PX的並集。設 S2X為S1X和P(S1X) 的並集。一般的，設Sn+1X為 SnX和 P(SnX) 的並集。則X上的超結構，寫作SX，為S0X，S1X，S2X，等等的並集或
。
注意到，無論初始集合 X如何，空集總是屬於 S1X。 重定義空集為馮·諾伊曼序數[0]。 則 {[0]}，僅含有元素空集的集合，屬於 S2X；定義為馮·諾伊曼序數 [1]。 類似的，{[1]} 屬於 S3X，則 {[0]} and {[1]} 的並集 {[0],[1]} 也屬於該集合；定義為馮·諾伊曼序數 [2]。 重複這個過程，所有的自然數都通過其馮·諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若 x和 y屬於這個超結構，則 {{x},{x,y}}（這個集合表示了有序對(x,y)）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。 而且，這個超結構也包含各種函式和關係，因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。 以及，還能夠得到有序 n元組，表示為域為諾伊曼序數 [n] 的函式等等。
需要注意的是，這個部分在哲學上有些改變，這裡全集是任何被關心的集合 U。 上個部分中，被研究的集合是全集的子集；而在這裡，它們是全集的元素。 這樣儘管 P(SX) 是一個布爾格，而相應的 SX不是。 因此，幾乎不直接採用布爾格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。 作為代替，可以採用獨立的布爾格 PA，這裡 A是 SX中任意相應的集合；則 PA是 SX的子集(實際上它屬於 SX)。
