基本介紹
- 中文名:伯克霍夫積分
- 外文名:Birkhoff integral
- 屬性:一種向量值函式的積分
- 提出者:伯克霍夫於1935年提出的
- 所屬學科:數學(測度論)
基本介紹,伯克霍夫,G,
基本介紹
伯克霍夫積分(Birkhoff integral)是一種向量值函式的積分,設是σ有限測度空間,是定義在Ω上而取值於巴拿赫空間X的向量值函式,給定Ω的一個可列分劃
如果在每個上有界且級數
無條件收斂,則稱關於可列分劃Δ可求和,此種和的全體
的凸閉包,稱為關於Δ的積分值域,記為,如果對任意ε>0,存在Ω的可列分劃Δ(ε),使關於Δ(ε)可求和,且J(x,Δ(ε))的直徑小於ε,則說x(t)在Ω上伯克霍夫可積,並稱由一切可列分劃Δ所得到的的交集(X中的單點集)為x(t)在Ω上的伯克霍夫積分,記為
即
此積分是伯克霍夫(G.D.Birkhoff)於1935年提出的,在Ω上伯克霍夫可積的函式在任意的上仍為伯克霍夫可積函式.。伯克霍夫積分作為向量值集函式具有絕對連續性和可列可加性,對於被積函式具有線性性質,但富比尼定理不成立,博赫納可積函式必是伯克霍夫可積的,其逆不真。
伯克霍夫,G
伯克霍夫,G.(Birkhoff,Garrett,1911-1996)是美國數學家、邏輯學家。G.D.伯克霍夫之子。生於普林斯頓。1932年畢業於哈佛大學。1932-1933年赴英國劍橋大學讀研究生。1950年任國際數學家大會主席。美國國家科學院、美國文理科學院院士。G.伯克霍夫以有廣泛的科學興趣而著稱,他的主要貢獻在抽象積分、微分方程定性理論、一般拓撲學和流體動力學等方面。他建立了在有限測度空間上定義的、在巴拿赫空間中取值的函式,按勒貝格積分的構造方法定義的積分,現稱之為伯克霍夫積分。在第二次世界大戰期間,他研究了水平彈道學問題。以後研究方向轉向集合論和數理邏輯方面。研究了代數系統的理論結構表示,這種系統滿足海廷公理。在可結合代數方面,他提出了著名的伯克霍夫一維特(E.Witt)關於李代數的可表示性定理。他還研究了一般拓撲學中的穆爾-史密斯收斂性。其主要著作有《格論》(1940)、《近世代數概論》(與麥克萊恩合著,第3版,1965)和《代數學》(與麥克萊恩合著,1967)等。