二次曲面

二次曲面

一般說來,直線與二次曲面相交於兩個點;如果相交於三個點以上,那么此直線全部在曲面上。這時稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行平面所截,其截線是二次曲線。通常,我們將三元二次方程所表示的曲面稱作二次曲面。平面叫做一次曲面。

基本介紹

  • 中文名:二次曲面
  • 外文名:quadratic surface
  • 分類:圓柱面 橢圓柱面等
  • 截線:二次曲線
簡介,分類,圓形截線,二次超曲面,判別法,

簡介

二次曲面是在三維坐標系(x、y、z)下三元二次代數方程對應的所有圖形的統稱。在歐氏三維空間裡坐標x,y,z之間的二次方程(係數為實數,且二次項係數不全為零)所表示的曲面。二次曲面的方程為:

分類

二次曲面有12種:
(1)圓柱面(Cyindrical surface)
(2)橢圓柱面(Elliptic cylinder)
(3)雙曲柱面(Hyperbolic cylinder)
(4)拋物柱面(Parabolic cylinder)
(5)圓錐面(Conical surface)
(6)橢圓錐面(Elliptic cone)
(7)球面(Sphherical surface)
(8)橢球面(Ellipsoid)
(9)橢圓拋物面(Elliptic paraboloid)
(10)單葉雙曲面(Hyperboloid of one sheet)
(11)雙葉雙曲面(Hyperboloid of two sheets)
(12)雙曲拋物面(馬鞍面)(Hyperbolic paraboloid)
最常見的二次曲面是球面和直圓柱面及直圓錐面。此外,二次曲面還包括橢球面、雙曲面(又分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面)和拋物面(又分為橢圓拋物面和雙曲拋物面,後者又稱馬鞍面)。當表示二次曲面的一個方程,能分解為兩個一次方程的乘積時,這個二次曲面就退化成兩個或相交或平行或重合的平面。

圓形截線

在二次曲面里,橢圓面、雙曲面、錐面、橢圓拋物面以及橢圓柱面都具有圓形截線。如果某一個平面截二次曲面於一個圓周,則所有平行於它的平面也截該曲面於一個圓周。所以一般來說,二次曲面由兩族平行平面可以截出圓截線。與其平行的切平面的切點是二次曲面的臍點(或圓點)。

二次超曲面

在某個域 K 上的 n 維射影空間
中,射影坐標
滿足方程
,矩陣
是非零的對稱矩陣)的點所構成的集合,稱為
中的二次超曲面,簡稱為二次曲面。
二次曲面的分類問題歸結為二次型的分類問題或 K 上的對稱矩陣的分類問題。設 A 的秩為 r ,則當 K 為複數域
時,二次超曲面的方程可簡化為標準形
當 K 為實數域
時,二次超曲面的方程可簡化為標準形

判別法

對於二次曲面的一般式:Ax2+By2+Cz2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0,
稱為二次曲面的不變數。
又設
δ>0
Δ=0

...
Δ≠0
ΔS>0
虛橢球面
...
...
ΔS<0
橢球面
δ<0
Δ>0
單葉雙曲面
...
Δ=0
二次錐面
...
Δ<0
雙葉雙曲面
δ=0
Δ<0
橢圓拋物面
...
Δ>0
雙曲拋物面
...
Δ=0
δ0>0
Δ0=0

...
...
...
Δ0≠0
Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3>0
虛橢圓柱面
...
...
...
...
Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3<0
橢圓柱面
...
...
δ0<0
Δ0=0
相交平面
...
...
...
Δ0≠0
雙曲柱面
...
...
δ0=0
Δ0≠0
拋物柱面
...
...
...
Δ0=0
G2+H2+I2-JS>0
平行平面
...
...
...
...
G2+H2+I2-JS=0
重合平面
...
...
...
...
G2+H2+I2-JS<0
平行虛平面

熱門詞條

聯絡我們