橢球面

在空間直角坐標系下，由方程x²/a²+y²/b²+z²/c²=1所表示的曲面叫做橢球面，或稱橢圓面，其中a,b,c為任意正常數，通常假定a≥b≥c>0. 該方程叫做橢球面的標準方程.

基本介紹

• 中文名：橢球面
• 外文名：Ellipsoid
• 適用範圍：數理科學
• 性質：名詞
• 標準方程：x2/a2+y2/b2+z2/c2=1

定義

在空間直角坐標系下，由方程

所表示的曲面稱為橢球面，或稱橢圓面，從方程可知

即 .

這說明橢球面完全包含在由平面 所圍成的長方體內，其中a，b，c按其大小，分別稱為橢圓的長半軸、中半軸和短半軸。

形狀

用截痕法來考察橢球面的形狀。截痕法就是用坐標面和平行於坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕的形狀），然後加以綜合，從而知道了曲線的全貌。

先考察橢球面與三個坐標面的截痕

, , .它們都是橢圓。

再用平行於xOy坐標面的平面z=h（0<|h|<c)去截面得到截痕的方程為

或

這是一個位於平面z=h上的橢圓，它的中心在z軸上，兩個半軸分別為和。當|h|逐漸增大時，橢圓由大變小，當|h|=c時，橢圓縮為點（0，0，±c）。

用平行於yOz面或xOz面的平面去截橢球面，可以得到類似的結果。

當a，b，c中有任意2個相等時，為旋轉橢球面。

旋轉橢球面標準方程（不妨a=b時）為

可以看作由橢圓繞z軸旋轉而成的。

當a=b=c時，即三個半軸都相等時，為球面:。

相關概念

橢球面關於三坐標平面、三坐標軸、坐標原點都對稱. 橢球面的對稱平面、對稱軸與對稱中心依次叫做橢球面的主平面、主軸與中心.橢球面的三條對稱軸與橢球面的交點叫做橢球面的頂點, 因此橢球面的頂點為 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一條軸上的兩頂點間的線段以及它們的長度2a, 2b, 2c叫做橢球面的軸，它的一半叫做半軸.

存在範圍

橢球面完全被封閉在一個長方體的內部，這個長方體由六個平面：x=±a, y=±b, z=±c所圍成.

坐標面所截曲線

① ② ③

分別為xOy, xOz, yOz坐標面上的橢圓，它們叫做橢球面的主截線(或主橢圓).

坐標面平行平面所截曲線

或 ④

橢球面可以看成由此橢圓族④所生成，這些橢圓所在平面與xOy坐標面平行，而橢圓的兩雙頂點分別在另外兩個橢圓②與③上.用平行於其他坐標面的平面來截割橢球面，結論類似.

參數方程

x=asinθcosφ

y=bsinθsinφ

z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)

從中消去 θ, φ可得橢球面的標準方程.

套用

一般地，運用解析方法對曲面標準方程進行討論的步驟可概括為：

(1) 曲面的對稱性：討論圖形各部分之間的關係；

(2) 曲面的範圍：討論圖形存在的範圍；

(3) 曲面和坐標軸、坐標平面的關係：以便對圖形的大概輪廓有所了解；

(4) 確切研究曲面的彎曲變化情況：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面來截割曲面，研究截口曲線是怎樣變化的，也叫平行截面法，或平行截口線法.