三角形中位線定理

三角形中位線定理

三角形的中位線平行於第三邊(不與中位線接觸),並且等於第三邊的一半。

基本介紹

  • 中文名:三角形中位線定理
  • 外文名:Triangle median line theorem
  • 對象:三角形
  • 性質1:中位線平行於第三邊
  • 性質2:中位線等於第三邊的一半
  • 所屬領域:幾何數學
  • 套用領域:數學
定理,證明,逆定理,

定理

三角形的中位線平行於第三邊(不與中位線接觸),並且等於第三邊的一半。
如右圖所示,在三角形ABC中,DE是以BC為底的三角形中位線,則可得DE//BC,且DE=BC/2。具體證明過程如下。
三角形的中位線三角形的中位線

證明

如圖,已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點。
求證DE平行於BC且等於BC/2
方法一:過C作AB的平行線交DE的延長線於G點。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括弧)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立.
方法二:相似法:
∵D是AB中點
∴AD:AB=1:2
∵E是AC中點
∴AE:AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三:坐標法:
設三角形三點分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
則一條邊長為 :根號(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另兩邊中點為((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最後化簡時將x3,y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半
方法4:
延長DE到點G,使EG=DE,連線CG
∵點E是AC中點
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
∵點D在邊AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四邊形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2
∴DE//BC且DE=BC/2

逆定理

逆定理一
在三角形內,與三角形的兩邊相交,平行且等於三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。
如圖DE//BC,DE=BC/2,則D是AB的中點,E是AC的中點。
證明:∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中點,E是AC中點。
逆定理二
在三角形內,經過三角形一邊的中點,且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線。
如圖D是AB的中點,DE//BC,則E是AC的中點,DE=BC/2
三角形的中位線三角形的中位線
證明:取AC中點E',連線DE',則有
AD=BD,AE'=CE'
∴DE'是三角形ABC的中位線
∴DE'∥BC
又∵DE∥BC
∴DE和DE'重合(過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行)
∴E是中點,DE=BC/2
注意:在三角形內部,經過一邊中點,且等於第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線!
如圖,在△ABC中,D是AB中點,E在AC上,DE=BC/2,那么DE不一定是△ABC的中位線。理由如下:以D為圓心,DE為半徑作圓,設⊙D與AC交於另一點E',則有DE'=DE=BC/2,但DE'不是三角形的中位線。
但在一定條件下該命題是真命題。根據正弦定理解三角形可知,若∠A是銳角,當DE≥AD(即當BC≥AB),或DE=ADsinA(即BC=ABsinA,此時∠C=90°)時,命題成立。若∠A是鈍角或直角,則當DE>AD(即BC>AB)時,命題成立。

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