下三角矩陣

下三角矩陣

一個矩陣稱為下三角矩陣如果對角線上方的元素全部為0。類似地,一個矩陣稱為上三角矩陣如果對角線下方的元素全部為0。

定義,嚴格上(下)三角矩陣,原子三角矩陣,例子,方程組求解,算法,

定義

定義:若矩陣L具有下列形式:
則稱為下三角矩陣。
若矩陣U具有下列形式:
則稱為上三角矩陣。
許多矩陣運算保持下三角性不變:
  • 兩個下三角矩陣的和下三角。
  • 兩個下三角矩陣的乘積是下三角。
  • 一個可逆的下三角矩陣的逆是下三角。
  • 下三角矩陣與常數相乘是一個下三角矩陣。
    以上性質對上三角矩陣也成立。

嚴格上(下)三角矩陣

若上(下)三角矩陣對角線元素全是1,則稱為嚴格上(下)三角矩陣。

原子三角矩陣

一個原子下(上)三角矩陣是矩陣的一種特殊形式,所有的地方非對角元素為零,除了在單個列的條目。這樣一個矩陣也被稱為弗羅貝尼烏斯矩陣,高斯矩陣或高斯變換矩陣。即原子下三角矩陣的形式
一個原子三角矩陣的逆再次原子三角形。事實上,我們有

例子

是上三角陣。
是下三角陣
是原子下三角矩陣,其逆為

方程組求解

一個矩陣方程形式
很容易解決的一個疊代過程給出求解。
Lx = b矩陣方程可以寫成一個線性方程組
其解疊代公式為

算法

下面給出一個C語言的算法實現:
public static double[] luEvaluate(double[][] L, double[][] U, double[] b)
{
// Ax = b -> LUx = b. Then y is defined to be Ux
double[] x = new double[b.Length];
double[] y = new double[b.Length];
// Forward solve Ly = b
for (int i = 0; i < b.Length; i++)
{
y[i] = b[i];
for (int j = 0; j < i; j++) {
y[i] -= L[i][j] * y[j];
}
y[i] /= L[i][i];
}
// Backward solve Ux = y
for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)
{
x[i] = y[i];
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
x[i] -= U[i][j] * x[j];
}
x[i] /= U[i][i];
}
return x;
}

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