矩陣完備化，又稱矩陣填充（英文為Matrix completion）。其定義為：對於一個元素缺失的矩陣，通過對其有效位置的元素進行採樣，進而恢復出缺失的元素。
基本介紹
- 中文名：矩陣完備化
- 外文名：Matrix completion
- 別稱：矩陣填充
- 作用：恢復出缺失的元素
- 學科：數學
- 領域：數學
定義,套用,相關,
定義
矩陣完備化，又稱矩陣填充（英文為Matrix completion）。其定義為：對於一個元素缺失的矩陣，通過對其有效位置的元素進行採樣，進而恢復出缺失的元素。
套用
矩陣完備化的套用出現在現實生活中的方方面面，如計算機視覺，推薦系統，社交網路等。以推薦系統為例，對用戶行為的跟蹤及預測是目前各大網站所關注的主要目標之一，如何根據已有的數據來對用戶的行為進行指導是推薦系統所要考慮的問題。一個典型的例子是Netflix公司------世界上最大的線上影片租賃商，希望根據用戶的行為（對各類電影的評級）來為他們推薦可能感興趣的電影。（如90%的男性喜愛動作片，如果該用戶為男性，系統會為其推薦一部動作片）。淘寶、人人、以及一些團購網站現在都有推薦系統。
現在對於矩陣完備化套用於推薦系統的研究正在如火如荼的研究當中，如何有效地提高推薦系統的效率則是一個值得深入研究的問題。
相關
矩陣研究的一大方向是將一般的矩陣用一些比較“簡單”的矩陣來表示。這種表示方式稱為矩陣的變換與分解。矩陣變換與分解的方法有很多，它們的目的都是希望化簡後的矩陣保持原矩陣的某些性質，比如行列式、秩或逆矩陣，而形式相對簡單，因而能用容易地進行討論和計算，或者能使得某些算法更易執行。
LU分解將矩陣分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積。分解後的矩陣可以方便某些問題的解決。例如解線性方程組時，如果將係數矩陣A分解成A=LU的形式，那么方程的求解可以分解為求解Ly=b和Ux=y兩步，而後兩個方程可以十分簡潔地求解。又例如在求矩陣的行列式時，如果直接計算一個矩陣A的行列式，需要計算大約(n+ 1)!次加法和乘法；而如果先對矩陣做LU分解，再求行列式，就只需要大約n次加法和乘法，大大降低了計算次數。這是因為做LU分解的複雜度大約是n次，而後注意到L和U是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對角線上元素相乘即可。
