三重積分

三重積分

設三元函式f(x,y,z)在區域Ω上具有一階連續偏導數,將Ω任意分割為n個小區域,每個小區域的直徑記為rᵢ(i=1,2,...,n),體積記為Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每個小區域內取點f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點的選取無關),則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。

基本介紹

  • 中文名:三重積分
  • 外文名:Triple integral
  • 三重積分號:∫∫∫
  • 線性性質:線性性質
  • 計算方法:直角坐標系法
定義,性質,線性性質,可加性質,不等性質,估值性質,積分中值定理,計算方法,直角坐標系法,柱面坐標法,球面坐標系法,幾何意義,套用,

定義

設三元函式z=f(x,y,z)定義在有界閉區域Ω上將區域Ω任意分成n個子域Δvi(i=123…,n)並以Δvi表示第i個子域的體積.在Δvi上任取一點
作和
.如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分,記為
,即
,其中dv叫做體積元素。
三重積分圖示三重積分圖示
其中,∫∫∫稱為三重積分號,f(x,y,z)為被積函式,f(x,y,z)dv稱為被積表達式,dv稱為體積元,x、y、z為積分變數,Ω為積分區域,
為積分和。

性質

線性性質

(1)
(k為常數),被積常數中的常數因子可以提到三重積分號外面。
(2)設α、β為常數,則
,函式的和(或差)的三重積分等於各個函式的三重積分的和或差。

可加性質

如果空間閉區域G被有限個曲面分為有限個子閉區域,則在G上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。

不等性質

如果在G上,f(x,y,z)≤φ(x,y,z),則有,特殊地,若函式f(x,y,z)在Ω上可積,則|f(x,y,z)|亦在Ω上可積,且有。

估值性質

設M、m分別為f(x,y,z)在閉區域G上的最大值最小值,V為G的體積,則有mV≤≤MV。

積分中值定理

設函式f(x,y,z)在閉區域G上連續,V是G的體積,則在G上至少存在一個點
使得
另外由重積分的性質知,當f(M)=1時,三重積分
,這裡V(Ω)表示空間域Ω的度量,即V(Ω)表示Ω的體積。

計算方法

直角坐標系法

適用於被積區域Ω不含圓形的區域,且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法
⑴先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。
①區域條件:對積分區域Ω無限制;
②函式條件:對f(x,y,z)無限制。
⑵先二後一法(截面法):先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。
①區域條件:積分區域Ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成
②函式條件:f(x,y)僅為一個變數的函式。

柱面坐標法

適用被積區域Ω的投影為圓時,依具體函式設定,如設
①區域條件:積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合;
②函式條件:f(x,y,z)為含有與
(或另兩種形式)相關的項。

球面坐標系法

適用於被積區域Ω包含球的一部分。
①區域條件:積分區域為球形或球形的一部分,錐面也可以;
②函式條件:f(x,y,z)含有與
相關的項。

幾何意義

三重積分就是立體的質量。
當積分函式為1時,就是其密度分布均勻且為1,質量就等於其體積值。
當積分函式不為1時,說明密度分布不均勻。

套用

設Ω為空間有界閉區域,f(x,y,z)在Ω上連續
  • (1)如果Ω關於xOy(或xOz或yOz)對稱,且f(x,y,z)關於z(或y或x)為奇函式,則:
  • (2)如果Ω關於xOy(或xOz或yOz)對稱,Ω1為Ω在相應的坐標面某一側部分,且f(x,y,z)關於z(或y或x)為偶函式,則:
  • (3)如果Ω與Ω’關於平面y=x對稱,則:

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