基本介紹
- 中文名：三次曲線
- 外文名：Cubic Curves
- 學科：數學
- 性質：和一般曲線都相交三個點
- 發現者：牛頓
- 定義：F(x,y,z)=0, deg F=3.
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曲線介紹
定義
一般來說，套用齊次坐標，三次曲線有以下幾項組成：
x3,y3,z3,x2y,x2z,y2x,y2z,zx3,z2y,xyz.即：ax3+bx2y+cxy2+dy3+ex2+fxy+gy2+hx+iy+j= 0
三次曲線
三次曲線圖為4x3- ax2y +9xy2-9y3-36x +36y +10b =0光滑的三次曲線是虧格1曲線， 所以也是橢圓曲線。
發展史
在牛頓之前，也沒有人能夠像把非退化二次曲線分成橢圓、雙曲線與拋物線那樣對三次曲線分類。牛頓從1664年起試圖追隨笛卡兒按方程次數對曲線分類的思路來解決這一課題。1667—1668年和1678—1679年間，他又兩度回到高次曲線的研究並獲重大進展。但如其一貫所為，牛頓遲疑於結果的發表，直到1695年，他才將以前的結果總結成專論《三次曲線枚舉》(Enumeratio linearum tertii ordinis)並作為《光學》的附錄發表(1704)。
定理
特別的，過一個3x3“籠子”（Cages）中八個點的三次曲線，也過第九個點。（這個定理也被形象的稱為三次曲線的“籠子”定理（Cage Theorem for Cubics）。值得一提的是，這個定理與Gorenstein Ring（戈倫斯坦環）有緊密聯繫。因此雖然一般九點確定可以確定一條三次曲線，但如果九點處於一種特殊的位置，則確定不了一條三次曲線。有關Pappus定理和Pascal定理的證明，可參考： CAYLEY-BACHARACH THEOREMS AND CONJECTURES，D. Eisenbud, M. Green and J. Harris
有關Cayley-Bacharach定理的推廣及其他，可參考： CURVES IN CAGES: AN ALGEBRO-GEOMETRIC ZOO，Gabriel Katz
眾多曲線
引言
《三次曲線枚舉》首先根據平面曲線與直線相交所產生的交點數來定義曲線的階，同時指出圓錐曲線的許多概念與性質可以被推廣至高次曲線．例如牛頓提出了適合高次曲線的一般直徑理論(在這理論中n次曲線的直徑被定義為該曲線與一平行直線簇中每一條的n個交點的重心軌跡)和一般漸近線理論等。
Newton討論了三次曲線的分類．他注意到任一三次曲線至少有一個實漸近方向，取與此方向平行的直線為坐標軸之一，牛頓導出了三次曲線方程的四類基本形式——事實上：Newton發現他們都是五種三次發散拋物線（Newton如是說，即divergent cubic parabolas）的投影，正像所有的圓錐曲線都可看作是圓的投影一樣——由此Newton將所有三次曲線分為72類，而丟失了其中的六類（J．斯特林(Stirling，1717)、G．克萊姆(Cramer，1746)等人又追加了6種)。Newton的分類方法被歐拉批評，被認為缺乏一般性——不過這是後話。Plücker後來又改了更完善的219種分類。
(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d，
(ii)xy=ax3+bx2+cx+d，
(iii)y2=ax3+bx2+cx+d，
(iv)y=ax3+bx2+cx+d．
第一類(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d（立方雙曲線） 這也是 最複雜的一類，兩邊同時乘以x，得
Serpentine
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