lipschitz條件

在數學中，特別是實分析，lipschitz條件，即利普希茨連續條件（Lipschitz continuity），以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函式限制了函式改變的速度，符合利普希茨條件的函式的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函式而定）。

在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮套用於巴拿赫不動點定理。

利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。

基本介紹

• 中文名：lipschitz條件
• 外文名：Lipschitz condition
• 名稱由來：以德國數學家魯道夫利普希茨命名
• 簡介：一個比一致連續更強的光滑性條件
• 別稱：利普希茨連續條件

定義

對於在實數集的子集的函式 ，若存在常數，使得 ，則稱 符合利普希茨條件，對於 最小的常數 稱為 的利普希茨常數。若 ， 稱為收縮映射。

利普希茨條件也可對任意度量空間的函式定義：

給定兩個度量空間 ， 。若對於函式 ，存在常數 使得

則說它符合利普希茨條件。

若存在 使得

則稱 為雙李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

若已知 有界， 符合利普希茨條件，則微分方程初值問題 剛好有一個解。

在套用上， 通常屬於一有界閉區間（如 ）。於是 必有界，故 有唯一解。

例子

符合利普希茨條件， 。

不符合利普希茨條件，當 。

定義在所有實數值的 符合利普希茨條件， 。

符合利普希茨條件， 。由此可見符合利普希茨條件的函式未必可微。

不符合利普希茨條件， 。不過，它符合赫爾德條件。

若且唯若處處可微函式f的一次導函式有界，f符利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有 函式都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函式必定有界。

性質

符合利普希茨條件的函式一致連續，也連續。

bi-Lipschitz函式是單射的。

Rademacher定理：若 且 為開集， 符利普希茨條件，則f幾乎處處可微。

Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間， 符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的 ，使得 的利普希茨常數和 的相同，且 。