SP函式

SP函式，全名Special函式，又名VGM函式，164函式。它是國中函式中一次函式、反比例函式和二次函式的過渡產物。

基本SP函式 y=ax+b+c/x ，自變數 x 的冪跨度為三次（1次至-1次），是一次函式、反比例函式的結合，但它在解析式和圖像等方面與二次函式有密切的聯繫。

擴展SP函式 y=ax^2+bx+c+d/x 或 y=ax+b+c/x+d/(x^2)，自變數 x 的冪跨度為四次（2次至-1次，或1次至-2次）甚至更多，是一次函式、反比例函式與二次函式（及其反函式）等的結合。

本百科中，“擴展研究”之前的所有內容均為基本SP函式的研究。

基本介紹

• 中文名：SP函式
• 外文名：Function Of Special
• 別名：VGM函式；164函式
• 學科：數學

定義

形如 的函式，叫做SP函式。

函式解析式

SP函式共有三種形式的解析式。

（1）一般式

a, b, c 對SP函式的影響

a：控制開口大小；

b：控制函式的上下移動；

c：控制函式與坐標軸的距離。

實質：由一般式可以看出，SP函式可看做一次函式和反比例函式的結合。

（2）方程式

將SP函式 的兩邊同時乘以x，再通過移項得到：

通過此形式，可以看出SP函式與一元二次方程有一定的必然聯繫。

（3）關係式

將SP函式 的兩邊同時除以x，再通過移項得到：

通過此形式，可以看出SP函式與二次函式有一定的必然聯繫。

性質

（1）a,c 同號，有端點

a，c同號的SP函式圖像

由圖像看出，此類型的SP函式既有反比例函式的雙曲線性質，又有類似於二次函式的圖像特徵。

性質1：圖像與y軸在實數範圍內無交點；

性質2：兩曲線關於(0,b)對稱；

性質3：當a，c分別互為相反數，b相等時，兩函式圖像關於y軸和直線y=b對稱；

性質4：圖像有端點。

（2）a,c 異號：無端點

由圖像看出，此類型SP函式沒有類似二次函式的圖像性質，但仍然有類似反比例函式的雙曲線性。

a，c異號的SP函式圖像

性質1：在實數範圍內，圖像與 y 軸無交點。

性質2：當 a,c 分別互為相反數，b相等時，兩函式圖像關於 y 軸和直線 y=b 對稱。

性質3：圖像無端點。

SP函式和對勾函式

當b=0時，SP函式為，即為高中數學中的對勾函式。此函式又名雙勾函式。

圖像端點和最值的研究

由圖像可知，當 a,c 同號時，SP函式的圖像有端點。那么，端點對應的函式值（即該支函式的最值）與 a,b,c 之間有什麼關係呢？

（1）y=ax+c/x

由於函式圖像的兩支關於原點中心對稱，因此首先以第一象限為研究對象。

∵ ，

∴令 ， 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式 y1，y2 的圖像，如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。

y=ax+c/x 的端點與最值研究

聯立 y1, y2 得方程組，計算得： 。

作直線 與 y2 相切於P。

∴將P 代入得

聯立 y2 ,y3 。計算得:

∵ y2與 y3相切，

∴令 ，即 。

整理得： ， ， ， 。

∴直線 y1, y3 關於直線 對稱。

∴在y軸的右側（x>0），不論x取任何值，y1 +y3 恆等於2 ，即 。

又由圖可知在 y 軸右側， 當 x ≠ 時，y2始終在直線 y3的上方，y2 > y3 ，

∴當 時， ，

∴當 時， + 有最小值，即 。

y=ax+c/x：總結

∴在第一象限內，當 時，y有最小值， 。

同理，在第三象限內，當 時有最大值， 。推理過程和第一象限的基本相同。

y=ax+c/x：總結（如右圖）

（2）y=ax+b+c/x

由於函式圖像的兩支關於（0，b）中心對稱，因此首先以y軸右側的一支為研究對象。

∵ ，

∴令 ， 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式y1 ，y2 的圖像，如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。

y=ax+b+c/x 的端點與最值研究

過點P作 ，直線 y3與曲線 交於P, Q兩點，則直線y1 ，y3 關於直線 ， 對稱。

∴不論x取任何值， + 恆等於2 。

∵（1）在 0<x< 和 的範圍內， 在直線 的上方，此時y2>y3, y1+y2>y1+y3；

（2）在 <x< 的範圍內， 在直線 的下方，此時y2‘<y3, y1+y2’<y1+y3，

∴y1+y2'<y1+y3<y1+y2，即y1+y2的最小值的橫坐標在 <x< 的範圍內。

作直線 與 相切於M。

聯立 y2，y4，解得： 。

令 ，即 ，整理得 ， 。將 代入 中： ， ，即 。

將 代入 中： ；

再代入 或 中： 。

∴當 時， + 有最小值，即 。

y=ax++b+c/x：總結

∴在y軸右側，當 時， 有最小值， 。

同理，在y軸左側，當 時有最大值， 有最大值， 。推理過程和在y軸右側的基本相同。

y=ax+b+c/x：總結（如右圖）

SP函式的擴展研究

（1）概述

SP函式具有強大的擴展功能，可以在原有的 的基礎上添加更高或更低次項。

（2）添加二次項：y=ax^2+bx+c+d/x

添加二次項後的SP函式為：

（2）添加負二次項：y=ax+b+c/x+d/(x^2)

添加負二次項後的SP函式為：

此函式的圖像形似基本SP函式有端點及無端點的兩個圖像的結合。此函式圖像的兩支中，只有一支存在端點，即有最值。該形式SP函式的其他性質與基本SP函式對應性質基本類似。

是SP函式負二次項擴展的最簡單形式，其實質是一次函式 y=ax(a≠0) 與二次函式 y=x^2(x≠0)的反函式y=k/(x^2) 的結合。

SP函式的基本研究已經基本完成，而對於它的擴展研究才剛剛起步。希望“有識之士”能幫助我們修正基本研究中難免存在的問題或缺陷，並不斷完善函式的擴展內容，共同傳承與弘揚“特殊”的精神！

Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係

Sp函式與Sp方程的關係

Sp方程是一元二次方程與分式方程的結合，一般式為。當Sp函式中y=0時，即為Sp方程的一般形式。Sp方程的解即為Sp函式與x軸的交點。一般的，當a、c同號，b=0時，所對應的Sp方程一般無解。當a、c異號，所對應的Sp方程有兩個不相同的解。

Sp方程與一元二次方程的關係

將Sp方程兩邊乘以x化為ax²+bx+c=0(x≠0)即可發現，Sp方程求根公式仍為。即可得到Sp方程與一元二次方程有必然聯繫。Sp方程的解即為對應一元二次方程的解。