在數學領域中，Klein瓶，即克萊因瓶（德語：Kleinsche Flasche）是指一種無定向性的平面，比如二維平面，就沒有“內部”和“外部”之分。克萊因瓶最初的概念提出是由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。
要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連線。
和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結。它也不類似於氣球，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內外部之分）。
其名稱可能源自德語中的“Kleinsche Fläche”（克萊因平面），後來被誤解為“Kleinsche Flasche”（克萊因瓶）。德語最終也沿用了“克萊因瓶”這種稱呼。
基本介紹
- 中文名：Klein瓶
- 外文名：Klein bottle
- 別稱：克萊因瓶
命名來源,性質,參數化,參看,
命名來源
“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fläche”是“克萊因平面”的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個詞用起來也非常合適。
在1882年，著名數學家菲利克斯·克萊因（Felix Klein）發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面（即環面）。
性質
從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為[0,1] × [0,1]的矩陣，邊定義為(0,y) ~ (1,y)，其中0≤y≤1；和(x,0) ~ (1-x,1)，其中0≤x≤1，如圖1所示。就像莫比烏斯帶一樣，克萊因瓶是不可定向的。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以嵌入到三維或更高維的歐幾里得空間克萊因瓶只能嵌入到於四維或更高維空間。
圖1
圖1參數化
克萊因瓶的參數十分複雜：
還有一個較簡單的：
