莫比烏斯帶

莫比烏斯帶

公元1858年,德國數學家莫比烏斯(Mobius,1790~1868)和約翰·李斯丁發現:把一根紙條扭轉180°後,兩頭再粘接起來做成的紙帶圈,具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),一個正面,一個反面,兩個面可以塗成不同的顏色;而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面),一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”(也就是說,它的曲面只有一個)。

基本介紹

  • 中文名:莫比烏斯帶
  • 外文名:Möbius strip/Mobius Band
  • 發現人:莫比烏斯和約翰·李斯丁
  • 相似物:克萊因瓶
  • 別名:莫比烏斯環
製作方法,和幾何學關係,拓撲變換,旋轉緯度的分析,

製作方法

拿一張白的長紙條,把一面塗成黑色,然後把其中一端翻一個身,粘成一個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二,反而剪出一個兩倍長的紙圈。
莫比烏斯圈莫比烏斯圈
新得到的這個較長的紙圈,本身卻是一個雙側曲面,它的兩條邊界自身雖不打結,但卻相互套在一起。把上述紙圈,再一次沿中線剪開,這回可真的一分為二了,得到的是兩條互相套著的紙圈,而原先的兩條邊界,則分別包含於兩條紙圈之中,只是每條紙圈本身並不打結罷了。
相反,拿一張白的長紙條,把一面塗成黑色,反方向把其中一端翻一個身,粘成一個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二,反而剪出兩個環套環的莫比烏斯帶。
即;莫比烏斯帶沿著中間剪開,可以得到一個一個兩倍長的紙圈,也可得到兩個環套環的莫比烏斯帶。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題,卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。
比如在普通空間無法實現的"手套易位"問題:人左右兩手的手套雖然極為相像,但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去;也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去,左手套永遠是左手套,右手套也永遠是右手套!不過,倘若你把它搬到莫比烏斯帶上來,那么解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣,它們本身具備完全相像的對稱部分,但一個是左手系的,另一個是右手系的,它們之間有著極大的不同。

和幾何學關係

可以用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶(如右下圖)
這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶,所處位置為x-y面,中心為(0,0,0)。參數
uv從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。
從拓撲學上來講,莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1],邊由在0≤x≤1的時候(x,0)~(1-x,1)決定。
莫比烏斯帶的參數方程莫比烏斯帶的參數方程
莫比烏斯帶是一個二維的緊緻流形(即一個有邊界的面),可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是一個不可定向的的標準範例,可以看作RP#RP。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之一。特別地,它是一個有一纖維單位區間,I= [0,1]的圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上一個非平凡的兩個點(或Z2)的從。

拓撲變換

莫比烏斯帶是一種拓展圖形,它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變,只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點,又不產生新點。換句話說,這種變換的條件是:在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關係,並且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的,就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起,圈就不會變成8,“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。

旋轉緯度的分析

傳統的三維世界裡,所有的維度都是直線式的,但如果將旋轉視為一種緯度,則相對容易對莫比烏斯帶進行解釋。
從莫比烏斯帶的結構來看,它包含了一個水平360度旋轉的維度,同時包含了一個垂直方向上360度旋轉的維度,加上帶子本身的平面(x,y)維度,莫比烏斯帶總共是四個維度。
兩個旋轉緯度的關係兩個旋轉緯度的關係
如果垂直方向上旋轉的度數繼續增加,只會增加莫比烏斯帶纏繞的圈數,並不會額外增加空間的維度。
垂直方向上增加維度的示意垂直方向上增加維度的示意

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