黎曼洛赫定理

Riemann-Roch(黎曼-洛赫)定理 是代數幾何理論中最重要的定理之一這個定理最早是建立在代數曲線上的，後來被很多數學家都考慮過將它推廣到高維的情形，最終是德國數學家Hirzebruch完成了一次推廣，並由Grothendieck完成了最一般的結果。這個定理在數論上也有相應的推廣。

基本介紹

• 中文名：黎曼洛赫定理
• 外文名：Riemann-Roch
• 學科：代數幾何
• 基礎：代數曲線

主要內容

我們這裡先講曲線上黎曼-洛赫定理。

設C是代數曲線， D是C上的除子，K是C上的典範除子，g是C的虧格。

我們記上同調h^0(D)=dim |D| -1, 其中|D|是D的完全線性系，它是一個射影空間， dim |D| 是它的射影維數（即拓撲維數）。

h^1(D)=h^0(K-D),

定義示性數χ(D)=h^0(D)-h^1(D).

特別的，我們有h^0(O)=h^1(K)=1,h^1(O)=h^0(K)=g, 從而χ(O)=1-g.

代數曲線上的Riemann-Roch定理：

χ(D)=χ(O)+deg D.

這裡deg D 是D中的點的個數(帶重數的點重複計算)。

利用黎曼洛赫定理，可以解決很多經典代數曲線的有趣問題, 比如Cliifford定理。

同樣，代數曲面上也有類似的定理。

χ(D)=χ(O)+1/2*(D-K)D,

這裡D是曲面上的除子，K是典範除子。 示性數 χ(D)=h^0(D)-h^1(D)+h^2(D)， 特別地有，h^2(D)=h^0(K-D).

一般說來，曲面情形中h^1(D)是很難計算的。 如果一個定理可以告訴你什麼時候h^1(D)=0,那么這樣的定理就叫做消失定理（也成消滅定理、淹沒定理）。