魯棒預測控制器

在預測控制器中引入一個魯棒調節迴路，即構成魯棒預測控制器。

在預測控制框架內處理模型的不確定性，使受控系統在滿足可行性條件下達到漸近穩定的方法，稱為魯棒預測控制，而基於魯棒預測控制設計的組成結構即為魯棒預測控制器。

基本介紹

• 中文名：魯棒預測控制器
• 外文名：Robust predictive controller                    
• 類別：控制科學與工程
• 提出時間：上世紀60年代末
• 基本理論：魯棒控制、預測控制
• 控制方案：min-max魯棒預測控制等

簡介

模型預測控制(MPC)的控制思想可以追溯到上世紀60年代末，模型預測控制以其特有的滾動時域控制策略，使其在處理控制量和狀態量約束的不確定性問題上顯示出了巨大的優越力，並在理論界不斷出現新研究成果，及在很多工業領域也得到了廣泛套用。然而約束的存在必然給開環和閉環控制系統都帶來不確定性，約束條件處理與性能指標最佳化的有機結合是模型預測控制方法的核心和精髓所在。近年來，考慮模型參數不確定性或改善建模動態品質的魯棒模型預測控制的研究，就是一種比較先進的預測控制算法。其控制算法的思想，就是在保證系統穩定性的前提下，對系統控制性能、線上計算量以及可行域的大小等實際控制中的問題進行研究，並保持系統的動態性能品質。

關於魯棒模型預測控制，許多學者都提出了不同RMPC算法，並在理論和工業實踐中取得了良好的效果。本章重點介紹時滯不確定系統的魯棒預測控制器。
針對輸入具有大時滯的不確定系統，因此魯棒模型預測控制器設計的首要任務，就是要處理參數、對象結構等延時帶來的影響，人們借鑑魯棒控制的研究方法，對具有結構不確定性和外部擾動的預測控制進行了較為廣泛的研究。姜偕富等針對帶有輸入時滯的不確定線性時滯系統，基於適當形式的Lyapunov泛函，利用線性矩陣不等式方法討論了時滯相關型魯棒從狀態反饋控制器設計問題，其中不確定性是時變未知的，滿足範數有界條件，其控制器存在的充分條件由線性矩陣不等式的形式給出。有一篇運用狀態反饋研究了控制飽和時滯系統凡相關控制和穩定性問題。

針對有擾動線性的不確定系統，其魯棒預測控制器的設計，首先需要處理擾動對系統的影響。針對這個問題，Scokaert利用約束系統的雙模控制的思想，及充分考慮所有對系統狀態產生影響的擾動序列的同時，設計了魯棒控制器。為了減小魯棒預測控制器的線上計算量和擴大初始可行域的範圍，可以利用擾動不變集的原理，來處理擾動，進而設計預測控制器是魯棒預測控制研究中一類比較獨特的方法。1996年，Kothare等分別提出了一種基於LMI的魯棒MPC綜合方法。該算法對所考慮的不確定系統，從Min-Max原理出發，通過對最佳化無窮時域線性二次性能指標進行轉化，設計線性反饋控制律使在不變集中，任一系統性能指標單調下降，並對反饋控制律設計統一的Lyapunov函式，得到無窮時域指標的上界。這一設計思想被理論研究界廣泛借鑑。Angelii等針對有擾動的不確定系統，離線設計了一系列橢圓集，這些橢圓集的特點是在容許控制和干擾條件下，系統的狀態可以隨時間的推移向內收斂，線上計算時只做一步預測，使系統狀態沿橢圓集合向內收斂，當系統狀態進入控制不變集後則採用狀態反饋，使閉環系統穩定。在預測控制器設計中可將部分線上計算量轉移由離線設計完成，從而有效降低線上計算量，高效魯棒預測控ERPC (efficient robust predictive control)。其中ERPC具有線上計算量小，控制性能好的特點。在考慮擾動不變集的基礎上，對原ERPC設計進行改進，通過離散設計兩個橢圓不變集，線上進行凸組合的方法，在保持原有ERPC線上計算較小的優點同時，是控制器具有較大的初始可行域和良好的控制性能。

對於多胞不確定和反饋結構不確定的結構性攝動，也是學者們根據工業過程的對象的特徵，所總結的新的控制系統。其中採用多胞模型來研究受擾系統是魯棒預測控制一種常見的研究方法，LMI成為這類研究的主要工具。在魯棒預測控制的研究中，更為普遍的控制器設計是基於多胞模型描述的不確定系統。與擾動橢圓集模型相比，多胞不變集模型具有更大的靈活性，更能使系統獲得最大的漸進穩定性。在一定條件下，其中Time invariant system and nonline system等都可以轉化為多胞不確定性系統進行研究。

如何有效地設計線上計算量小，控制性能較好且可行域較大的魯棒預測控制器，一直是近年來預測控制研究的難點和熱點。

控制方案

魯棒預測控制算法，具有兩個基本特徵：其一是力求獲得儘可能大的可容許(即滿足約束條件)並可魯棒鎮定的吸引域。其二是在閉環穩定且滿足約束的前提下使不確定系統在某種意義下的性能指標達到最優。一般是儘量使得標稱系統的性能接近最優，或使系統在最不利情況下性能指標的一個上界達到最小。

線性狀態反饋魯棒預測控制

這種算法根據採樣時刻的狀態反饋求解線性控制律，並作用到系統中，使系統滿足輸入約束和狀態約束，並使目標函式在無限時域內單調遞減，保證穩定性，這樣就可以把線上最佳化問題用線性矩陣不等式(LMI)方法進行計算。如果在初始採樣時刻的線上最佳化問題可以用LMI求解，那么在以後的採樣時刻進行滾動最佳化都可以用LMI求解，保證了系統的穩定性。但是這種方法要求狀態完全可測，在某些實際的生產過程中無法滿足該要求，限制了該控制方案的使用。

min-max魯棒預測控制

P. J. Campo和M. Morari在魯棒預測算法中加入了min-max最佳化算法，將問題變為了求滾動最佳化中min-max問題，使具有不確定性的系統能夠在求得的控制量的作用下，性能指標最小。當系統存在狀態約束的時，每一採樣時刻都會有聯繫，前一時刻的輸入必然影響未來各時刻輸入的約束，為了避免這種現狀，引入了輸入反饋，把開環問題變為了閉環問題，把預測輸入作為反饋參與滾動最佳化中。但是為了確保滾動最佳化過程的魯棒性，以及引入反饋後的閉環問題的穩定性，在min-max魯棒預測控制算法中經常是以狀態變數的2範數定義的不變集。

輸出反饋魯棒預測控制

前面所介紹的兩種算法己經有大量的研究和相關的文獻，而和輸出反饋相結合的魯棒預測算法的相關研究和文獻並不多。該算法要解決的問題是在狀態不完全可測的情況下，如何取得良好的控制效果，目前研究方法有兩種：其中一類是比較經典的通過構造狀態觀測器來解決狀態不完全可測的情況，比如M. V. Kotharet等在文獻中利用了該思路，設計了輸出反饋魯棒預測控制器，具體先通過狀態反饋魯棒預測算法先來初步求出系統的控制律，再通過實時的輸入和輸出構造狀態觀測器，而在實際中不可測的狀態由狀態觀測器觀測值來替換，從而得到輸出反饋魯棒預測控制器。第二類是不建立狀態觀測器，直接通過採樣時刻實時輸出值來設計輸出反饋控制器。本文就採用了第二種思路，先通過狀態反饋，初步設計了魯棒控制器，但在發酵過程的控制中不構造觀測器，直接通過採樣時刻的實時輸出值，從而設計出最終的控制器。

離線魯棒預測控制算法

在整個控制時域內取許多個採樣時刻，離線求解該時刻的最佳化問題，依據實時測量的系統狀態與計算的理想最優狀態之間的差別，用插值法線上計算狀態反饋控制律。甚至有的文獻更進一步，打破了傳統控制律的形式，降低了離線計算方法的保守性。

引入比較模型的最佳化問題

當帶約束系統具有時變性和擾動性時，通過而二次規划算法設計魯棒預測控制器。首先利用lyapunov函式設計不含無擾動系統的控制器，通過建立一個比較模型，該模型把具有擾動性的系統變為不含擾動的系統模型，並由此提出終端約束條件，確保了系統的是可行的以及其穩定性。

改變線上最佳化問題的傳統結構

對於具有擾動性的系統時，將預測狀態和預測輸入的擾動部分作為增廣狀態，文中基於橢球不變集，確保增廣狀態變數的收斂性，同時還滿足約束條件。這樣就使線上最佳化問題的目標函式為範數形式，而其約束條件為採樣時刻的增廣狀態屬於橢球不變集。它的優點是線上計算量很少，容易套用在實際的過程控制中，但如果系統具有不確定性，該方法還有待進一步研究。

穩定性分析

預測控制的魯棒穩定性分析是指對於設計的預測控制器，採用前一時刻預測值的偏差來進行近似校正未來預測輸出量，使預測控制器的可行性和魯棒性在各種更加時效的線上最佳化方法下，得到實際控制系統的理想控制方案。

穩定性是衡量控制器可行的重要標準，但準確對預測控制器穩定性分析的文獻並不多見。根據線上最佳化策略的特點，預測控制穩定性證明大多採用附加了各種約束的Laypunov方法得到。一般保證預測控制穩定性的方法大體有：終端等式約束集，終端約束集，終端加權函式，收縮約束。這些方法的思想就是通過修改預測控制的性能指標或在控制器中加入認為的約束，來保證所設計的控制器的漸近穩定性。針對不同模型的不確定性系統，許多學者利用不同的控制策略方法，來克服控制器設計的保守性，Kothare使用現行矩陣不等式來設計魯棒約束預測控制器，Wan和Pluymer等通過離線設計若干相互包含的橢圓不變集，並線上組合，進而降低了控制器的線上計算量。Kouvaritakis等在固定反饋控制集得基礎上增加了補償控制量，提出了高效魯棒控制(Efficient robust predictive control,ERPC)並離線設計求的增廣系統的最小橢圓不變集，線上最佳化計算求得滿足不變集的最小附加補償控制量。針對橢圓集設計的保守性，Lee等提出了多面體不變集的設計方法，其也是採用Lyapunov方法得到穩定性保證，以獲得更好的控制器性能為目的。