首個不可數序數

簡介

在首個不可數序數中，與任何序數相像（馮·諾伊曼的方法），ω1是一個良序集合，以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個極限序數，意即並不存在一個α使得α+1=ω1。

集合ω1的勢，是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且，在大部分的構造中，ω1與 ℵ1是同一個集合（見馮·諾伊曼基數指派）。推而廣之，若α為任意序數，我們定義ωα為基數ℵα的起始序數。

ω1的存在性，可以在沒有選擇公理的情況下被證明（見Hartogs number）。

任一序數上都可定義序拓撲（即以開區間組成的集族為基的拓撲），故可視為一個拓撲空間。視 ω1為拓撲空間時，通常記為 [0,ω1) ，以強調其為所有小於 ω1的序數組成的空間。

[0,ω1) 中的每個遞增 ω-序列都收斂到某個在 [0,ω1) 中的極限，因為由可數序數組成的可數集的並（亦即序列的上確界）也是個可數序數。

拓撲空間 [0,ω1) 是序列緊，但不是緊的。於是，無法將之度量化。不過，其為可數緊的，故不是林德勒夫空間。由可數性公理觀之， [0,ω1)第一可數，但不可分，也不第二可數。

空間 [0,ω1] = ω1+1 是緊的，而不第一可數。通常用 ω1來定義長直線，作為拓撲學上的重要反例。