波萊爾域

在數學中，一個波萊爾域是指在一個指定的拓撲空間中，可由其開集（或者等價地，可由其閉集）的可數次並運算、可數次交運算和（或）差運算得到的一個集合。波萊爾域是由Émile Borel的名字命名的。

對於一個拓撲空間X，其所有波萊爾域的全體構成一個σ-代數，稱為波萊爾代數。拓撲空間X上的波萊爾代數是X上包含其所有開集（或者等價地，所有閉集）的最小的σ-代數。

波萊爾域在測度論中有著重要的意義，因為任何空間上的開集（或者閉集）上定義的測度，必然可以將定義延拓到空間所有的波萊爾域上。定義在波萊爾域上的測度被稱為波萊爾測度。波萊爾域和相關的波萊爾分層在描述集合論中也起著基礎性的作用。

在某些語境下，波萊爾域被定義為是由拓撲空間中的緊集而不是開集生成的。兩個定義在很多良態的空間中是等價的，包括所有σ-緊的豪斯多夫空間，但是在具有病態性質的空間中兩者可能不同。

基本介紹

• 中文名：波萊爾域
• 外文名：Borel set
• 所屬學科：數學
• 數學分支：拓撲學|描述集合論
• 命名來源：由Émile Borel的名字命名

數學定義

設 是 的子集的一個非空類，若且唯若滿足

時， 稱為域。

若且唯若滿足

時， 稱為單調類。

若且唯若滿足

時， 稱為波萊爾域。

數學性質

1 一個域為波萊爾域的充分必要條件是它也是一個單調類

的所有子集的類 是一波萊爾域，稱為全波萊爾域，兩個集 的類是一波萊爾域，稱為平凡波萊爾域，設 是任一個指標集，且對每個 是一波萊爾域（或者單調類），則所有這些波萊爾域的交，即屬於所有的 的集所成的類，也是一個波萊爾域。對於任給的非空集類 ，存在一個包含它的一個最小的波萊爾域，它正好就是包含 的所有波萊爾域的交，易知，這種波萊爾域至少存在一個，即上面提到的 。這個最小的波萊爾域也稱為是由 產生的。特別是，如果 是一個域，則存在包含 的一個最小的波萊爾域。

2 設 是一個域， 是包含 的最小單調類， 是包含 的最小波萊爾域，則 .

生成

當X是一個度量空間時，博雷爾代數可以用如下生成的方法描述。

對於X的一族子集T（即X的冪集P(X)的任何子集），令

1 T_σ為T中元素的可數並的全體

2 T_δ為T中元素的可數交的全體

3 T_δσ=(T_δ)_σ.

現在利用超限歸納法定義如下的序列，其中m是一個序數：

1 對於初始的情況，定義

的所有開子集全體。

2 如果i不是極限序數，那么i是i-1的後繼序數。令

3 如果i是極限序數，令

我們現在可以說博雷爾代數是 ，其中ω₁是第一不可數序數，即勢為 ℵ₁的序數集。這意味著博雷爾代數可以通過開集全體的疊代運算

至第一不可數序而生成。

為了證明這一點，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的並。特別地，易知對於任何極限序數m，集合的差運算將映射到自身；而且，當m是不可數的極限序數時，在可數並運算下是封閉的。

注意到對於每一個博雷爾集B，存在一個可數序數α_B使得B可以通過α_B多次疊代後得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集，α_B也會相應地取遍所有可數序數，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數是ω₁，即第一不可數序數。

非波萊爾域

下面描述了盧津給出的一個實數集上的子集不是波萊爾域的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。

每一個無理數都有一個唯一的連分數表示

其中是一個整數，其餘的都是正整數。令A為對應序列的無理數組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質：存在一個無限子序列使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是波萊爾域。