餘子式

行列式的階越低越容易計算，於是很自然地提出，能否把高階行列式轉換為低階行列式來計算，為此，引入了餘子式和代數餘子式的概念。

在n階行列式中，把所在的第i行與第j列划去後，所留下來的n-1階行列式叫元的餘子式。

基本介紹

• 中文名：餘子式
• 外文名：cofactor
• 學科：數理科學
• 特點：行列式的一種
• 相關術語：代數餘子式
• 套用：線性代數、矩陣論

行列式餘子式

定義：在n階行列式中，划去元a_ij所在的第i行與第j列的元，剩下的元不改變原來的順序所構成的n-1階行列式稱為元a_ij的餘子式。

數學表示上計作。

餘子式定義

的代數餘子式：。

行列式與代數餘子式的關係

行列式等於它任意一行(列)的各元素與其對應的代數式餘子式乘積之和。

D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+......+a_inA_in (i=1,2,3,......n)；

D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+......+a_njA_nj (j=1,2,3,......n)。

公式說明：其中D表示行列式。

證明：設D是m×n的行列式，根據行列式的性質展開，

，展開如下所示：

根據代數餘子式的推論，得出原結論正確。

矩陣餘子式

設A為一個 m×n 的矩陣，k為一個介於1和m之間的整數，並且m≤n。A的一個k階子式是在A中選取k行k列之後所產生的k個交點組成的方塊矩陣的行列式。

A的一個k階餘子式是A去掉了m−k行與n−k列之後得到的k×k矩陣的行列式。

由於一共有k種方法來選擇該保留的行，有k種方法來選擇該保留的列，因此A的k階餘子式一共有 C^k_m*C^k_n個。

如果m=n，那么A關於一個k階子式的餘子式，是A去掉了這個k階子式所在的行與列之後得到的(n-k)×(n-k)矩陣的行列式，簡稱為A的k階餘子式。

n×n的方塊矩陣A關於第i行第j列的餘子式Mij是指A中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為A的（i，j）餘子式。

其他相關定義

代數餘子式和伴隨矩陣

一個矩陣的 （i，j）代數餘子式 是指A的（i，j）餘子式M_ij與的乘積，即：

A的餘子矩陣是指將A的（i，j）代數餘子式擺在第i行第j列所得到的矩陣，記為C。

C的轉置矩陣稱為A的伴隨矩陣，伴隨矩陣類似於逆矩陣，並且當A可逆時可以用來計算它的逆矩陣。