梅森公式

梅森公式，或稱梅森增益公式，是在控制理論、自動化領域用於求取系統?>傳遞函式的公式。套用梅森公式將大大簡化結構變換的計算，但當系統結構比較複雜時，很容易判斷錯誤前向通道、迴路、餘子式的數目，因此常常將梅森公式和結構圖變換結合起來用。也經常用兩種方法互相驗算。

基本介紹

• 中文名：梅森公式
• 外文名：Mason's gain formula 
• 基本概念：用於求取系統傳遞函式的公式
• 相關概念：傳遞函式、信流圖
• 相關領域：控制理論、自動化
• 重要步驟：確定前向通道

定義

系統傳遞函式

線性定常系統的傳遞函式，定義為零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

如對於典型的反饋系統，

有

則經過整理，其傳遞函式為：

其中G(s)稱為開環傳遞函式，G'(s)稱為閉環傳遞函式；對於如圖所示的系統，沒有特殊聲明，傳遞函式一般指閉環傳遞函式

結構圖與信號流圖

為了抽象的表示系統，在控制領域中引入結構圖以及信號流圖兩種常用形式來表示系統。

結構圖，或形象的稱為方框結構圖，就是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成的，其基本單元包括：信號線、引出點、比較點、方框。如上一節傳遞函式插圖即為結構圖。

信號流圖，起源於梅森利用圖示描述一個或一組線性代數方程式，它是由節點和支路組成的一種信號傳遞網路。其中，節點標誌系統的變數，支路相當於乘法器，信號只能沿箭頭單向傳遞，給定系統的信號流圖不唯一。

公式

由於結構圖或信號流圖都可以完整的表征整個系統，並且有著方便直觀的化簡方法，所以可以通過這兩種圖來求取系統的傳遞函式，但是當圖過於龐大複雜，一點一點去化簡就顯得十分麻煩，為此在控制工程中常用梅森增益公式來直接求取系統的傳遞函式。

梅森公式如下，

其中，

n——為前向通道總數；

P——系統總傳遞函式；

，稱為系統的特徵式

p_k——表示第k條前向通路的總增益；

△_k——表示第k條前向通路的余因子式。

參數詳細說明

特徵式

△ ——特徵式中第二項表示所有單獨迴路增益之和，第三項表示每兩個互不接觸迴路增益乘積之和，第四項表示每三個互不接觸迴路增益乘積之和，以此類推；

其中：

L₁ —— 所有不同迴路的傳遞函式之和；

L₂₁L₂₂ —— 所有兩兩不接觸迴路傳遞函式乘積之和（三個迴路兩兩不接觸不代表三個迴路互不接觸）；

L₃₁L₃₂L₃₃ —— 所有三個互不接觸迴路傳遞函式乘積之和；

以此類推。

前向通路特徵式的餘子式

△_k——第k條前向通路特徵式的餘子式，即對於流圖的特徵式△，將與第k條前向通路相接觸的迴路

傳遞函式代以零值，餘下的即為△_k。

迴路傳遞函式

迴路傳遞函式是指反饋迴路的前向通道和反饋通道傳遞函式的乘積，包含反饋極性的正、負號。

計算步驟

①確定前向迴路總數n；

②計算所有迴路增益L；

③計算互不接觸迴路L_mn；

④計算 到 ；

⑤計算餘子式△k；

⑥綜合結果得到傳遞函式。

舉例

以上方信號流圖為例(打開圖片以查看)，

計算過程如下圖所示，

①確定前向迴路總數n=4；

②計算所有迴路增益L

③計算互不接觸迴路

④計算 到

⑤計算餘子式△k

⑥綜合結果得到傳遞函式

所以

注意事項

（1）n條前向通道數是指從輸入信號至輸出信號前向通道的總數，不要漏掉，不要重複，也不要錯劃。注意信號傳遞的單向性。

（2）單獨迴路數和互不接觸迴路數不要漏掉，亦不要重複。△和△_k應計算無誤。

（3）反饋的極性應體現在傳遞函式的正負上，一定要注意符號。

（4）梅森公式只能用於輸入節點與輸出節點之間。