頻譜密度

頻譜就是頻率的分布曲線，複雜振盪分解為振幅不同和頻率不同的諧振盪，這些諧振盪的幅值按頻率排列的圖形叫做頻譜。設一個能量信號為s（t），則它的頻譜密度S（w）可以由傅立葉變換求得。

頻譜分析，是信號分析技術中的經典部分。尤其是自FFT信號分析儀得以套用以來，頻譜分析技術曾作為信號分析的主流技術而得到空前的發展，在工程領域被廣泛套用，解決了大量工程實際問題，即使現代信號分析技術大大發展，頻譜分析仍作為傳統和經典的信號分析技術而繼續被廣泛套用，並經常成為其他分析技術的參照。

基本介紹

• 中文名：頻譜密度
• 外文名：frequency density
• 分類：基於FT、基於FFT
• 套用：信號分析的主流技術

相關定義

頻譜的定義

任何表現於時間或空間距離上有複雜振動的形式的變數，都可以分解為許多不同振幅和不同頻率的諧振，把這些諧振的振幅值按頻率（或周期）排列的圖形。可用作傳送信息的電磁波或振盪的頻率集合。

頻譜就是頻率的分布曲線，複雜振盪可以分解為振幅不同和頻率不同的諧振盪，這些諧振盪的幅值按頻率排列的圖形叫做頻譜。廣泛套用在聲學、光學和無線電技術等方面。頻譜是頻率譜密度的簡稱。它將對信號的研究從時域引到頻域，從而帶來更直觀的認識。

頻譜密度的定義

設一個能量信號為，則它的頻譜密度可以由傅立葉變換求得：。

能量信號的頻譜密度和功率信號的頻譜主要區別有：（1）頻譜密度是連續譜，而功率信號的頻譜是離散譜；（2）頻譜密度單位是幅度/頻率，而功率信號的頻譜單位是幅度；（3）能量信號的能量有限，並連續的分布在頻率軸上，每個頻率點上的信號幅度是無窮小的，只有df上才有確定的非0振幅；（4）功率信號的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點上有確定的非0振幅。

基於FT的頻譜函式與頻譜函式密度

周期信號的頻譜函式

在進行頻譜的理論分析時，對周期信號，要用傅氏級數（FS）對其進行處理，得到：，。其中，為周期信號的頻譜函式。

在頻域坐標繫上，幅值-頻率圖形如右圖所示，稱為周期信號的頻譜圖（幅-頻圖）。由圖可見，周期信號的頻譜圖是離散的，只有在時有值，其幅值與信號具有相同的量綱，且相對應兩條譜線（例如n=±3）之和表示該階諧波（例第三階）的真實幅值。

幅值-頻率圖

周期信號的頻譜密度函式

對非周期信號，則要用傅式變換（FT）對其進行處理，得到：，。稱為信號的頻譜密度函式。在頻域坐標繫上，典型的幅值密度-頻率圖如右圖所示，稱為信號的頻譜密度圖。

值頻譜密度-頻率圖

由圖可見，非周期信號的頻譜密度圖是連續的。其縱坐標表示信號的幅值密度，而不是諧波的幅值，其量綱是：信號量綱/Hz。

基於FFT信號分析儀上的頻譜與功率譜密度

FFT譜

FFT信號分析儀的工作原理是離散傅立葉變換，即DFT。對信號進行DFT，實質上包含幾個環節：時域採樣（時域離散化）、時域截斷（加窗）和頻域採樣（頻域離散化）。根據傅氏變換的性質，在頻域採樣過程中，實際上是對時域信號的周期化。即此時參與變換的信號不再是原信號，而是以窗寬T為周期的信號。既然是周期信號，經變換後所得到自然是該信號的頻譜函式，稱之為信號的FFT譜或線性譜。典型的FFT譜如右圖所示（單邊顯示）。

FFT譜圖

與周期函式的頻譜圖相似，信號的的FFT譜是離散的，其幅值具有與信號相同的量綱。

功率譜

由於是複函數，在工程套用中不夠方便，為此常將其與復共軛相乘，得到其功率譜（PowerSpectrum），即，其中：是的復共軛。功率譜P_s是實函式，是的平方，不僅使用方便而且其特徵更加突出。

功率譜密度

當採用不同的頻率解析度進行信號分析時，儘管對其某一信號的功率譜具有相似的波形，但其各點的功率譜值卻是不同的，越大，所得到的功率譜值也就越大。這樣不便於採用不同分析頻段（亦不同）時所得結果間的比較。於是，在信號分析儀上又定義了功率譜密度的概念，即：，式中，為等效濾波器頻寬，是用頻率解析度乘以所選窗函式的窄帶修正因子。對於矩形窗、力窗和指數窗，=。

能量譜密度

在某些工程中，還要用到能量譜的分析，於是在信號分析儀中又定義能量譜密度，即：，其中：T為所分析信號的時間記錄長度。

總結

（1）當對信號進行基於FT的理論分析時，對周期信號傅氏分解，得到其離散化的頻譜函式。而對非周期信號，套用傅氏變換，得到的是信號的頻譜密度函式。

（2）當使用FFT信號分析儀進行信號分析時。由於DFT的周期化處理，所得到的是信號的頻譜函式，而並非頻譜密度函式。

（3）在信號分析儀上，功率譜密度是根據頻譜函式的運算而得到的，是為了方便工程運算結果的比
較，與理論分析中的頻譜密度函式不同。