頻譜密度

頻譜密度

頻譜就是頻率的分布曲線,複雜振盪分解為振幅不同和頻率不同的諧振盪,這些諧振盪的幅值按頻率排列的圖形叫做頻譜。設一個能量信號為s(t),則它的頻譜密度S(w)可以由傅立葉變換求得。

頻譜分析,是信號分析技術中的經典部分。尤其是自FFT信號分析儀得以套用以來,頻譜分析技術曾作為信號分析的主流技術而得到空前的發展,在工程領域被廣泛套用,解決了大量工程實際問題,即使現代信號分析技術大大發展,頻譜分析仍作為傳統和經典的信號分析技術而繼續被廣泛套用,並經常成為其他分析技術的參照。

基本介紹

  • 中文名:頻譜密度
  • 外文名:frequency density
  • 分類:基於FT、基於FFT
  • 套用:信號分析的主流技術
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相關定義

頻譜的定義

任何表現於時間或空間距離上有複雜振動的形式的變數,都可以分解為許多不同振幅和不同頻率的諧振,把這些諧振的振幅值按頻率(或周期)排列的圖形。可用作傳送信息的電磁波或振盪的頻率集合。
頻譜就是頻率的分布曲線,複雜振盪可以分解為振幅不同和頻率不同的諧振盪,這些諧振盪的幅值按頻率排列的圖形叫做頻譜。廣泛套用在聲學、光學和無線電技術等方面。頻譜是頻率譜密度的簡稱。它將對信號的研究從時域引到頻域,從而帶來更直觀的認識。

頻譜密度的定義

設一個能量信號為
,則它的頻譜密度
可以由傅立葉變換求得:
能量信號的頻譜密度和功率信號的頻譜主要區別有:(1)頻譜密度是連續譜,而功率信號的頻譜是離散譜;(2)頻譜密度單位是幅度/頻率,而功率信號的頻譜單位是幅度;(3)能量信號的能量有限,並連續的分布在頻率軸上,每個頻率點上的信號幅度是無窮小的,只有df上才有確定的非0振幅;(4)功率信號的功率有限,但能量無限,它在無限多的離散頻率點上有確定的非0振幅。

基於FT的頻譜函式與頻譜函式密度

周期信號的頻譜函式

在進行頻譜的理論分析時,對周期信號
,要用傅氏級數(FS)對其進行處理,得到:
。其中,
為周期信號
的頻譜函式。
在頻域坐標繫上,幅值-頻率圖形如右圖所示,稱為周期信號的頻譜圖(幅-頻圖)。由圖可見,周期信號的頻譜圖是離散的,只有在
時有值,其幅值
與信號
具有相同的量綱,且相對應兩條譜線(例如n=±3)之和表示該階諧波(例第三階)的真實幅值。
幅值-頻率圖幅值-頻率圖

非周期信號的頻譜密度函式

對非周期信號
,則要用傅式變換(FT)對其進行處理,得到:
稱為信號
的頻譜密度函式。在頻域坐標繫上,典型的幅值密度-頻率圖如右圖所示,稱為信號
的頻譜密度圖。
值頻譜密度-頻率圖值頻譜密度-頻率圖
由圖可見,非周期信號的頻譜密度圖是連續的。其縱坐標表示信號的幅值密度,而不是諧波的幅值,其量綱是:信號量綱/Hz。

基於FFT信號分析儀上的頻譜與功率譜密度

FFT譜

FFT信號分析儀的工作原理是離散傅立葉變換,即DFT。對信號
進行DFT,實質上包含幾個環節:時域採樣(時域離散化)、時域截斷(加窗)和頻域採樣(頻域離散化)。根據傅氏變換的性質,在頻域採樣過程中,實際上是對時域信號的周期化。即此時參與變換的信號不再是原信號
,而是以窗寬T為周期的信號
。既然是周期信號,經變換後所得到自然是該信號的頻譜函式
,稱之為信號
的FFT譜或線性譜。典型的FFT譜如右圖所示(單邊顯示)。
FFT譜圖FFT譜圖
與周期函式的頻譜圖相似,信號的
的FFT譜是離散的,其幅值具有與信號相同的量綱。

功率譜

由於
是複函數,在工程套用中不夠方便,為此常將其與復共軛相乘,得到其功率譜(PowerSpectrum),即
,其中:
的復共軛。功率譜Ps是實函式,是
的平方,不僅使用方便而且其特徵更加突出。

功率譜密度

當採用不同的頻率解析度
進行信號分析時,儘管對其某一信號
的功率譜具有相似的波形,但其各點的功率譜值卻是不同的,
越大,所得到的功率譜值也就越大。這樣不便於採用不同分析頻段(
亦不同)時所得結果間的比較。於是,在信號分析儀上又定義了功率譜密度的概念,即:
,式中,
為等效濾波器頻寬,是用頻率解析度乘以所選窗函式的窄帶修正因子。對於矩形窗、力窗和指數窗,
=

能量譜密度

在某些工程中,還要用到能量譜的分析,於是在信號分析儀中又定義能量譜密度,即:
,其中:T為所分析信號的時間記錄長度。

總結

(1)當對信號進行基於FT的理論分析時,對周期信號傅氏分解,得到其離散化的頻譜函式
。而對非周期信號,套用傅氏變換,得到的是信號的頻譜密度函式
(2)當使用FFT信號分析儀進行信號分析時。由於DFT的周期化處理,所得到的是信號的頻譜函式
,而並非頻譜密度函式
(3)在信號分析儀上,功率譜密度是根據頻譜函式
的運算而得到的,是為了方便工程運算結果的比
較,與理論分析中的頻譜密度函式
不同。

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