鞅（英文名：Martingale）是機率論與隨機過程理論中的核心概念，指滿足條件期望等於當前值的隨機過程。其數學定義為：若隨機變數序列{Xn}滿足E[Xn+1 | X0,…,Xn]=Xn，則該序列稱為鞅。該術語源於“公平賭博”的原義，即賭徒未來本金期望值等於當前本金，同時作為金融資產價格分析的最古老數學模型之一。
鞅分為離散型和連續型兩類。離散鞅要求序列適應於過濾且條件期望恆定，連續鞅強調連續時間下已知歷史信息後的條件期望不變性。鞅論在點估計、隨機微分方程、統計理論等領域有套用，並通過L2鞅差列定義取消停時限制，證明鞅與平方期望的關係。
鞅概念由法國機率學家P.Levy於20世紀初首次提出。1953年，美國機率學家J.L.Doob在《隨機過程》中系統建立鞅論，使其發展為隨機過程理論的獨立分支。
基本介紹
定義,離散鞅,連續鞅,
定義
鞅是一類特殊的隨機過程。起源於對公平賭博過程的數學描述。鞅是滿足如下條件的隨機過程：在已知過程在時刻
之前的變化規律的條件下 ，過程在將來某一時刻t的期望值等於過程在時刻的值。例如 ，用
表示某一賭徒在公平賭博中
時刻所擁有的本金 ，那么
為鞅，也就是說無論該賭徒在s時刻以後的賭博中如何利用他在時刻之前所取得的經驗 ，他所能期望在將來t時刻擁有的本金只能是
，這正是“公平性”的體現。P.萊維早在1935年就發表了一些孕育著鞅論的工作。1939年，萊維首次採用了鞅這個名稱。但對鞅系統地進行研究並使它成為隨機過程的一個重要分支的，則應歸功於J.L.杜布。鞅已成為研究隨機過程的一個有力工具。
離散鞅
定義一：
隨機變數序列
、
滿足 
, 如果對任意
, 有
則稱是關於的鞅(martingale)。
定義二：
令
是
代數的序列，如果滿足
則稱是一個過濾(filtration)。給定一個過濾，令是使得
是
-可測的隨機過程，如果對任意, 有
則稱是關於的鞅。
連續鞅
如果一個連續時間的隨機過程Xt 滿足以下條件：
（1） 
（2） 
即，已知至時間s的所有信息，則某時刻
的條件期望值為時刻的值。
如果一個序列
是關於
的鞅，則應滿足：
（1） 
（2） 
