基本介紹
- 中文名：面積積分
- 又稱：面積函式
- 提出者：Η.Η.盧津
- 涉及學科：數學
)，這裡δ是小於1的某個正數,Ωδ(θ)是由點e引圓周Cδ(│z│=δ)的兩條切線與Cδ上被兩切點所截的、離e較遠的圓弧所圍的區域。
積分(1)中的被積函式
是映射z→ƒ(z)的雅可比行列式,當ƒ(z)為一一映射時,可知(Sδ(ƒ)(θ))正好是區域Ωδ(θ)在映射ƒ下的映像面積。面積積分的名字由此而來。
Sδ(ƒ)(θ)在某些點e處，可能是無限的。但是,盧津為了研究一類解析函式的性質，證明了當 ƒ(z)∈h，即
時,對於單位圓周上幾乎所有的e，面積函式Sδ(ƒ)(θ)都是有限的，並且
， (2)
式中ƒ(e)是ƒ的邊值函式；當ƒ(0)=0時,還成立下面的相反不等式
， (3)
式中Aδ是常數，決定於δ。
後來，J.馬欽凱維奇和A.贊格蒙把上述定理又推廣到函式類h(p>0)，即滿足條件
的圓內解析函式全體。
面積積分的重要性，還在於它本質上可以局部地刻畫圓內解析函式ƒ 在邊界z=e 處非切向極限的存在性。確切地說，除了一零測度集外，圓內解析函式ƒ 在邊界z=e處具有非切向極限的充分必要條件是
。
這說明Sδ(ƒ)(θ)與ƒ的邊界性質有著十分深刻的內在聯繫，因此它是表達圓內解析函式邊界性質的一個重要工具。正是這一點，它在研究高維空間的h理論時，發揮了非常重要的作用。
