三角形面積坐標是一種自然坐標,在有限元分析中一般用它來構造三角形單元的插值函式。隨著有限元理論的發展,也出現了四邊形單元的面積坐標等方法和理論。
基本介紹
- 中文名:面積坐標
- 外文名:Area coordinates
- 有向面積:頂點按逆時針方向排列的面積為正
- ⊿ABC幾心:5心
- 規範面積坐標:M(μ1:μ2:μ3)
定義,點的面積坐標符號,
定義
平面上任取一個⊿ABC,充當坐標三角形,對於平面ABC上任意一點M,將下述三角形面積比 S⊿MBC:S⊿AMC:S⊿ABM= : : 叫做點M關於⊿ABC的面積坐標(或重心坐標),記作:M= ( : : )={ , , }。
由定義可知,某個點M的面積坐標既可記為 ( : : ),也可記為 (k :k :k )(k≠0)。也就是說,一個點的面積坐標記法並非唯一,他們可以相差一個非0的常數因子,因此這類坐標屬於齊次坐標,笛卡爾直角坐標不屬於齊次坐標。
當 + + =1時,面積坐標 ( : : )稱為規範面積坐標。
三角形中任一點P與其3個角點相連形成3個子三角形,以原三角形邊所對應的角碼來命名此3個子三角形的面積,即 面積為 , 面積為 , 面積為 。P點的位置可有3個比值來確定,即
P( , , )
其中
A是三角形的面積,因此有
+ + =1
稱 , , 為面積坐標。
點的面積坐標符號
設點M( : : )是規範面積坐標:
1)如果點M( : : )在三角形內部,那么 、 、 屬於開區間 (0,1);
3)如果有某個坐標小於 0,則位於三角形外部。
例 以a、b、c分別表示⊿ABC三角A、B、C所對的邊,,,等等。
則⊿ABC的“五心”的面積坐標如下:
重心:;
內心:( : : );
旁心:,余類推;
垂心:;
外心:。