非退化矩陣

非退化矩陣(non-degenerate matrix)又稱“非異矩陣(non-singular matrix) ”、“滿秩矩陣”，若n階矩陣A的行列式|A|≠0，則稱A為一個非退化矩陣，若|A|=0，則稱A為“退化矩陣”，也稱“奇異矩陣”、“降秩矩陣”。n階方陣A是非退化的充要條件為A是可逆矩陣。

基本介紹

• 中文名：非退化矩陣
• 外文名：non-degenerate matrix
• 別名：非(奇)異矩陣，滿秩矩陣等
• 特點：n階方陣A的行列式|A|≠0
• 充要條件：A是非退化充要條件為A是可逆矩陣
• 所屬學科：數學

基本介紹

先引進逆矩陣的概念。

對給定的矩陣A，如果存在矩陣B，使成立

則稱A為非退化(矩)陣(non-degenerate matrix)，並稱適合式(1)的矩陣B為A的逆(矩)陣(inverse matrix)；非退化陣也稱可逆陣(invertible matrix)或非奇異陣(non-singular matrix)。

可以看出，只有方陣才可能有逆矩陣，而且可以證明，對方陣A，B，若AB=I，則必BA=I，故今後在討論方陣時，只要成立AB=I或BA=I就可以說明A，B互為逆陣了。

相關結論

定理 如果A是非退化陣，則其逆陣是惟一的。

證： 可用同一法證明結論。設是對非退化陣A的適合式(1)的任意兩個矩陣，則必有。事實上，根據以及下文式(2)，有

證畢。

在證明過程中巧用式(2)以及式(1)的做法，稱之為單位陣技巧，這是在證明矩陣等式中時常有用的一種技巧，

由於可逆陣A的逆陣為惟一確定，故可記之為，有

而稱不存在逆陣的方陣為退化(矩)陣(degenerate matrix)。

這樣，由逆陣概念可容易地推知，單位陣必為非退化陣，且其逆陣即為自身，即有

定理 對m×n矩陣A，有

以及對適當維的零矩陣，總有

及.

在有可能用上這些明顯等式時，能簡化矩陣乘法的運算過程。

由於矩陣乘法是滿足結合律的，在一個方陣自乘若干次的情形，使用冪指數的記號是既合理又可帶來便利的。若k是個自然數，定義(規定)

從這個定義可以看出成立指數律：

結論 一個n×n矩陣是非退化的充要條件是它的秩等於n。

推論 設A，B都是數域F上的n×n矩陣，矩陣AB為退化的充要條件是A，B中至少有一個是退化的。

證明 AB為退化學或A退化或B退化。