設a，b是兩個整數，其中b>0，則存在兩個唯一的整數q及r，使得a=bq+r，0≤r<b成立，我們把式中的q叫做a被b除得的不完全商，r叫做a被b除所得的餘數，也叫做非負最小剩餘。
基本介紹
- 中文名：非負最小剩餘
- 外文名：nonnegative least residue
- 所屬學科：數學（初等數論）
- 相關概念：不完全商，同餘式等
- 別稱：餘數
基本介紹,相關性質,相關概念,同餘式,完全剩餘組,與模互素的剩餘組,歐拉定理和費馬定理,
基本介紹
非負最小剩餘(nonnegative least residue)是數論的基本概念之一。設
是兩個整數，其中
，則存在兩個惟一的整數q及
，使得
成立，稱q為
被b除的不完全商；稱 為 被b除的餘數，也稱 為非負最小剩餘，記為
，常設b>0，在不致引起混淆的情況下，
中的b常略去不寫。
相關性質
非負最小剩餘有下面的性質(各式中
都是整數，且b>0，b略去未寫)：
1.兩個整數和的非負最小剩餘，等於這兩個整數各自的非負最小剩餘的和的非負最小剩餘，即
2.兩個整數差的非負最小剩餘，等於這兩個整數各自的非負最小剩餘的差的非負最小剩餘，即
3.兩個整數積的非負最小剩餘，等於這兩個整數各自的非負最小剩餘的積的非負最小剩餘，即
相關概念
同餘式
在整數與它們被一個已知的正整數m除的餘數的關係中來討論同餘式，m叫做模。
如果與兩個整數和b對應的是同一個餘數r，則它們就被叫做對於模m同餘。
對於模m同餘的數和b寫成
數和b對於模m的同餘性，等價於：
1．可以表成
，這裡
是整數。
2．
被m除盡。
完全剩餘組
a．對於模m同餘的數組成由模m決定的數類。
從這個定義知道，與同一個類的所有數對應的是同一個餘數 ，而且只要在式子
里讓q通過所有的整數，我們就得到這個類里的所有數。
對應於 的m個不同的值，我們有m個由模m決定的數類。
b．一個類的任意數，對於同一個類的所有數而言，都叫做模m的剩餘，當q=0時，我們得到的剩餘正好等於餘數 ，叫做非負的最小剩餘。
按絕對值說最小的剩餘
叫做絕對的最小剩餘。
c．對於模m兩兩不同餘的任意m個數，組成這個模的完全剩餘組。
實際上，由於不同餘的緣故，這些數屬於不同的類，而因它們的個數m正好是類的個數，所以在每個類里正好有一個數。
d．如果
，而且
通過模m的完全剩餘組，則
（b是任意整數）也通過模m的完全剩餘組。
與模互素的剩餘組
a．模m的同一個類里的數與模有同一個最大公約數。特別重要的是這個公約數等於1的類，即包含著與模互素的數的類。
從每個這樣的類取一個剩餘，我們得到與模m互素的剩餘組。因此，可以取完全剩餘組裡與模互素的數來組成與模互素的剩餘組。通常與模互素的剩餘組從非負的最小剩餘組
中分出。因為在這m個數中間，與m互素的有
個，所以與模互素的剩餘組裡數的個數，即包含與模互素的數的類的個數，是 。
例子：與模42互素的剩餘組是
1，5，11 ，13，17，19，23，25，29，31，37，41
b．對於模m兩兩不同餘的任意 個與模互素的數，組成一個與模m互素的剩餘組。
實際上，由於不同餘而且與模互素的緣故，這些數屬於不同的包含與模互素的數的類，而因為它們的個數正好是這種樣子的類的個數，所以在每個類里正好有一個數。
c．如果，而且x通過與模m互素的剩餘組，則ax也通過與模m互素的剩餘組。
歐拉定理和費馬定理
a．當
和時，我們有（歐拉定理）
實際上，如果x通過從非負的最小剩餘得來的與模互素的剩餘組
b．當p是素數而且不被p除盡時，我們有(費馬( Fermat)定理）
