零倫映射

零倫映射(null-homotopic map)是一類特殊的映射，設X，Y都是拓撲空間，若映射f:X→Y同倫於某常值映射f₀:X→Y，則它稱為零倫的。從映射同倫觀點看，最簡單的映射是零倫映射。

基本介紹

• 中文名：零倫映射
• 外文名：null-homotopic map
• 所屬學科：數學（代數拓撲學）
• 屬性：一類特殊的映射
• 定義：同倫於常值映射的映射稱為零倫的
• 相關概念：同倫，常值映射，可縮空間等

基本介紹

同倫的定義

令X，Y是兩個空間， 是單位區間 ，兩個映射 是同倫的(記作： )，如果存在一個連續映射 使得 。直觀上，可以把t看成時間參數， 是從映射 到映射 的一個連續變形，使得 是 時的形變位置。也可以說， ，是指存在一個連續的單參數映射族 ，它以 為初始位置，以 為終止位置。

零倫的定義

若一個映射 同倫於常值映射，就說 是一個零倫，記作 。

例1 令Y是 的一個凸集，X是任意空間。則每個 都是零倫。因為，任選 ，定義 。則它是把X的每個點 送到聯接 和 的線段上的某個點，而這個點分這個線段為 之比， 是連續的，並且 ，即 和常映射同倫。

相關概念及性質

可縮空間(contractible space)是一類特殊的空間，在同倫型的意義下，最簡單的空間是和由一個點組成的空間(即單點空間)，有相同的同倫型的拓撲空間，稱為可縮空間，它和零倫映射有著密切關係。

一般地，說一個空間Y是可縮的，如果 是零倫的。並且，在這種情況下，對於每個空間X和每個連續映射 都是零倫的。因為，若 是Y的一個收縮，則 就是 的一個零倫．

例2 如果X是 中一個凸集，Y是任意空間，則同樣有每個 是零倫。因為，取定 ，定義 ，則 連續，並且X的像收縮到 。

一般，若X是可縮的，則對任何空間Y，每個連續映射 都是零倫；因為，若 是恆等映射 的零倫，則 就是 的一個零倫。

例3 注意：零倫映射之間不一定是同倫；實際上，常映射之間就不一定同倫：若X連通，Y不連通， 位於Y的不同連通支中，則常映射 和 就不同倫，因為 是連通的。

例4還必須注意，在考慮兩個映射 的同倫時，空間Y必須是固定不變的。假定允許Y任意擴大，則任意兩個映射 都可以是同倫的。比如，我們用 把 貼上到Y，(此處 )得到 。若 是粘合映射，則 就是 到 的在 中的同倫。

按照例1和例2，定義在 上的所有映射和所有到 中的映射都是零倫的，但只要把 換成稍微複雜一點的空間 ，則兩個結論都是錯的：在n=0的情況，顯然 不是零倫。

然而，我們有以下命題：

(1) 若X是任意空間， 是兩個連續映射，使得 和 不是對徑點，則 。特別，一個連續非滿射 總是零倫的。

(2) 令Y是任意空間， 連續，則 有一個連續擴張 。