雅戈比橢圓函式

雅可比橢圓函式的定義

第一類橢圓積分

z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)

的反函式是雙周期的亞純函式，記作

ω=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本周期：

ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)

ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=sqr(1-k^2)

sn(z)稱為橢圓正弦，k為模，k‘為補模。若

sin(φ)=sn(z)

則稱φ為z的振幅函式，記作 φ=am(z) 又定義

cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (橢圓餘弦)

tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (橢圓正切)

dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)

上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 統稱雅可比橢圓函式，它們都是二階橢圓函式。

雅可比橢圓函式的性質

特殊點的值

周期，零點，極點，留數

誘導公式表

sn(mK+niK±z)

cn(mK+niK±z)

dn(mK+niK±z)

基本關係

sn(z)^2+cn(z)^2=1

dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1

dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2

am(-z)=-am(z)

sn(-z)=-sn(z)

cn(-z)=cn(z)

tn(-z)=-tn(z)

dn(-z)=-dn(z)

可見，雅可比橢圓函式的關係與圓函式（三角函式）相似。

轉換關係

加法公式

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倍數公式

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半數公式

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乘法公式

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導數公式

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