除數函式

在數論上，除數函式是一類算術函式。除數函式定義為n的正因子的次冪之和。

基本介紹

• 中文名：除數函式
• 外文名：divisor function
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學
• 類型：算術函式
• 定義：n的正因子的x次冪之和

定義

在數學中，特別是在數論中，除數函式是一個與整數除數相關的算術函式。 當被稱為除數函式時，它計算一個整數（包括1和數字本身）的除數。 它出現在許多顯著的身份中，包括關於黎曼ζ函式和愛森斯坦系列模組化形式。 除數函式由Ramanujan研究，他給出了一些重要的同餘和特徵，這些在Ramanujan的文章中分開處理。

一個相關的函式是除數求和函式，顧名思義，它是對除數函式的求和。

除數函式定義為n的正因數的x次冪之和，即

例子

例如，σ₀(12) 是12的除數:

當σ₁(12)是所有除數的和:

而適當的除數的等分和s(12) :

特殊情況

的正因數的數目；

的正因數之和（包括自己）。

σx(n)的值

n/x	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性質

都是積性函式，但不是完全積性。

，而這等式與相等，即n的各因數的x次方後的和，此式在x=1時即為n包括n本身在內的各因數的和。

系列聯繫

涉及除數函式的兩個Dirichlet系列是：

當d(n)=σ₀(n)是

和

涉及除數函式的Lambert系列是：

其中 |q|≤1 和a。這個總和也表現為愛森斯坦系列的傅立葉級數和Weierstrass橢圓函式的不變數。