閘函式

閘函式(barrier function)是用來界定區域邊界性狀的一種函式。又稱障礙函式。處理最佳化問題時，在極值點的搜尋過程中，為保證搜尋始終在可行域內，對企圖從可行域內部穿越邊界的點，在目標函式中加入障礙項，表示障礙項的函式即為閘函式。距邊界越近，障礙越大，當趨於邊界時，障礙趨於無窮大，從而保證最優解不會超出可行域。

基本介紹

• 中文名：閘函式
• 外文名：barrier function
• 套用：用來界定區域邊界性狀
• 相關概念：正則邊界點、狄利克雷問題等

基本介紹

閘函式(barrier function)是用來界定區域邊界性狀的一種函式。設是上一點，如果中存在函式滿足條件：

1.在中是上調和的；

2.在中，

則稱是中調和運算元的正則點，稱為中調和運算元在點的閘函式。如果有界區域在ξ點上滿足外部球條件， 那么函式

就是調和運算元在點ξ的閘函式。

正則邊界點

正則邊界點(regular boundary point)是一類邊界點。所謂正則邊界點，是指的一個開集ω的邊界點，使得以上每個具有緊支集的連續函式f為邊界值的廣義狄利克雷問題的解在的邊界值與一致，這等價於(或)在不瘦。當時，這等價於為(或)的2正則點(參見“α正則點”)，故可採用維納判別法(當時，用對數容量代替的類似判別法)。常用的充分必要判別法還有：

1. 在存在閘函式，即存在的開鄰域N及內的上調和函式w>0，使得

2. 對1.中的格林函式G，有

另外，當時，簡單實用的充分判別法是所謂龐加萊錐條件，即存在以為頂點的圓錐體在的某鄰域與ω不相交。

相關定理

定理1設為區域的邊界，在上連續。如果點是一個正規邊界點，則函式

在點P處連續，並且其中為的上函式集。

定理2 設為區域的邊界，在上連續，如果上的每一個點都是正規邊界點，則Dirichlet問題

的解存在。

由定理2 可知，求解Dirichlet問題就轉化為當滿足什麼條件時，上的每一點都是正規邊界點。這裡給出一種簡單而常見的情況：如果在點處滿足外球條件，且外球的球心為，則

在內是調和函式，在上連續，且對有

稱滿足此條件的函式為在點P處的閘函式。