閉球套定理

閉球套定理(closed ball nest theorem)對度量空間的完備性的一種刻畫。 歐氏空間中許多結論均依賴於空間的完備性，如直線上的閉區間套定理，平面內的閉矩形套定理等，在完備的距離空間中，許多與歐氏空間情形類似的結論仍然成立。

基本介紹

• 中文名：閉球套定理
• 外文名：closed ball nest theorem
• 所屬學科：數學
• 性質：對度量空間的完備性的一種刻畫
• 相關概念：完備度量空間，開球，閉球等

基本介紹

定義1 設是距離空間，，

稱為以為中心，為半徑的開球。

稱為以為中心，為半徑的閉球。

閉球套定理 設是完備的距離空間，是一列閉球

如果球的半徑，則存在唯一的點。

定理的證明

證明： 由命題的條件，不難看到球心組成的序列是一個Cauchy列。事實上，對任意n，m，若n≥m，則由得

由此立得是一個Cauchy列，由X是完備的知存在，使得，在不等式

中，固定m並令得，這說明，故。

若另有，且，則對任意n，有

由不等式

及立得，從而，這就得到矛盾，所以必是單點集。證畢。

相關結論

在直線上的閉區間套定理中，即使區間的長度不趨於0，所有區間的交仍然是非空的。然而，在一般距離空間中，即使空間是完備的，假如閉球套的半徑不趨於0，則其交可能是空集。

從直線上Cauchy準則與閉區間套定理的等價性，人們自然會提出這樣的問題：

在距離空間中，閉球套定理與空間的完備性是否等價?

答案是肯定的。事實上，假設在距離空間中閉球套定理成立，為證空間的完備性，假設是X中的Cauchy列，於是存在正整數列，使得當時，

作閉球，則對任意，由

知，故是一個閉球套，於是存在唯一的。由知，又由

立得，即在X中收斂，從而完備。