鉸鏈四邊形

鉸鏈四邊形(hinge quadrilateral)是一種特殊的四邊形，如果四邊形的四條邊的邊長一定，其四個內角不固定，這樣的可以變形的四邊形稱為鉸鏈四邊形，鉸鏈四邊形顯示四邊形的不穩定性。

基本介紹

• 中文名：鉸鏈四邊形
• 外文名：hinge quadrilateral
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（四邊形）
• 特點：四邊形邊長一定，四個內角不固定
• 性質：內接於圓的四邊形具有最大的面積

基本概念

如果四邊形的四條邊的邊長一定，其四個內角不固定，這樣的四邊形就叫做鉸鏈四邊形，鉸鏈四邊形的任三邊長度之和大於第四邊，鉸鏈四邊形還有一個重要的性質：在四邊長度給定的一切四邊形中，內接於圓的四邊形具有最大的面積。

圖1

相關定理

我們知道，一個三角形在三邊長度給定的條件下，這個三角形的形狀及它的面積就被惟一地確定下來，但對四邊形來講，情況就大不相同了，當四邊長度給定時，可以做出各種各樣形狀的四邊形。譬如，我們取長度分別為a、b、c、d的四根小木條，並用鉸鏈聯成一個活動的四邊形(圖2)，活動這個四邊形的頂角。便可得到各種形狀的四邊形，這些四邊形具有不同的面積。那么在這些四邊形中，怎么樣的四邊形具有最大的面積?

圖2

下面的定理回答了這個問題（關於定理的證明請參考相應書籍）。

定理1 在四邊長度給定的一切四邊形中，內接於圓的四邊形具有最大的面積。

細心的讀者可能會提出這樣的問題：難道在邊長給定的條件下，適當調整夾角一定能使四邊形內接於圓嗎?

引理 在保持四邊形各邊長度的條件下，適當調整它的頂角，一定能夠使它內接於圓。

圖3

鉸鏈四邊形的面積

當四邊長度給定時，四邊形面積的最大值

這也就是四邊給定且又內接於圓的一般四邊形的面積公式。

設a+b+c+d=2p，公式(1)能改寫成更對稱更完整且便於記憶的形式

或

這個關於a、b、c、d具有對稱形式的公式還告訴我們:面枳的最大值與給定邊的次序無關，僅由給定的邊長a、b、c、d惟一確定。

假如四辺形ABCD的邊長中有一邊的長度逐漸縮短而最後趨於零，譬如DA=d=0，此吋，四邊形退化為三角形，任何三角形都內接於圓，故得三角形面積

這就是著名的海倫公式。因此，上述公式是海倫公式的推廣。

公式(1)：

是我國南宋數學家秦九韶在他所著《數書九章》中的三斜求積(已知三邊求三角形的面積)公

的推廣。