重整化群理論

重整化群理論(renormalization group theory ) 在粒子物理研究中為克服微擾發散困難而進行標度變換，從而得到群不變性的一種理論。

基本概念

重整化群理論(renormalization group theory ) 在粒子物理研究中為克服微擾發散困難而進行標度變換，從而得到群不變性的一種理論.其後又被廣泛用於研究凝聚態物理的相變間題.重整化群理論可分為“動量空間重整化群”和“實空間重整化群”兩大類.重整化群的目的是通過改變物體的粗視化程度 (長度標尺)來觀察物體中各物理量的變化規律.一個物體在發生二級相變的臨界點處，它的相關長度是趨於無窮大的，因此物體就具有尺度變換下的不變性，也就是通常所說的“標度不變性”.這時物體的結構必然具有自相似性.可以利用標度不變性求出在臨界點處的各種臨界指數.分形同樣是一種具有自相似特性的幾何體，它的結構滿足標度不變性，因此基於標度不變特徵的重整化群理論也是研究分形結構的一種有力工具.

計算方法

重整化群理論由威爾遜(Wilson, K. G.)於 1971年提出，並因而獲得了1982年的諾貝爾物理獎.重整化群計算方法一般可分為下列幾個步驟:

選擇與劃分基本元胞以便於進行標度變換. 2.定義權重函式和求出重整化群變換公式，這是重整化群理論中的核心部分.權重函式一般可選用多數法則或篩選法，其目的是減少體系的自由度. 重整化群變換公式是指同一物理量在不同尺度測量下的對應關係. 3.確定重整化群變換的不動點，其依據是物體在臨界點時其相關長度是趨於無窮的，因此相關長度在重整化變換下是一個不變數，即一個不動點. 4.計算臨界指數或分維數.在不動點附近作線性近似後，求出各種臨界指數的數值.111 總之，重整化群理論是一個近似的理論，它只能對體系作粗視化處理而不能細視化.儘管如此，它仍然是研究相變及許多非線性問題的一個有力工具.

自相似(self-similarity)刻畫無特徵尺度形體的一種性質，即其整體與局部相似的一種性質.整體與局部的相似性.亦即當該集的任一個局部放大適當倍數後，它的形狀將會和其原來的整體相一致.其例包括寇赫曲線、謝爾品斯基地毯等(參見“分形”). 用數學語言可將自相似變換描述為:在歐氏空間中選一個點，設其坐標為

若將X各個分量的測量尺度改變:倍之後，其坐標變為

則稱該變換為相似變換，其中r為實數，稱為標度因子.由於在各方向上的伸縮比相同，所以自相似變換具有伸縮不變性.若所定義的變換沿各方向的伸縮率不完全相同，得到的變換是自仿射變換，即

但各方向上的伸縮比可能不同，它是一個比例向量，其表達式為

則自仿射變換可寫為

一般地，白仿射變換是平移、旋轉、伸縮和反射的合成，因此，它是自相似集的一種推廣.