里奇標量

在黎曼幾何中，數量曲率（Scalar curvature）或里奇標量（Ricci scalar）是一個黎曼流形最簡單的曲率不變數。對黎曼流形的每一點，數量曲率是由該點附近的內蘊幾何確定的一個實數。

基本介紹

• 中文名：里奇標量
• 外文名：Ricci scalar
• 別稱：數量曲率

簡介

在黎曼幾何中，數量曲率（Scalar curvature）或里奇數量（Ricci scalar）是一個黎曼流形最簡單的曲率不變數。對黎曼流形的每一點，數量曲率是由該點附近的內蘊幾何確定的一個實數。

在 2 維數量曲率完全確定了黎曼流形的曲率；當維數 ≥ 3，曲率比數量曲率含有更多的信息。參見黎曼流形的曲率中完整的討論。

數量曲率一般記為S（其它記法有Sc,R），定義為關於度量的里奇曲率張量的跡：

這個跡和度量相關，因為里奇張量是一個 (0,2) 型張量；必須將指標上升得到一個 (1,1) 型張量才能取跡。在局部坐標中我們可以寫成

這裡

給了一個坐標系與一個度量張量，數量曲率可以表示為：

這裡是度量的克里斯托費爾符號。

不像黎曼曲率張量或里奇張量可以對任何仿射聯絡自然地定義，數量曲率只在黎曼幾何存在；其定義與度量密不可分。

傳統記法[編輯]

在使用張量指標記法的作者中，字母R通常表示三種不同的東西：

1.黎曼曲率張量：或；

2.里奇張量：；

3.數量曲率R。

這三個由它們的指標數目區分開：黎曼張量有四個指標，里奇張量有兩個指標，里奇數量曲率沒有指標。不使用指標記法的一般將R保留為全黎曼曲率張量的記號。