邏輯代數

邏輯代數

邏輯代數是一種用於描述客觀事物邏輯關係的數學方法,由英國科學家喬治·布爾(George·Boole)於19世紀中葉提出,因而又稱布爾代數。邏輯代數有一套完整的運算規則,包括公理、定理和定律。它被廣泛地套用於開關電路和數字邏輯電路的變換、分析、化簡和設計上,因此也被稱為開關代數。隨著數位技術的發展,邏輯代數已經成為分析和設計邏輯電路的基本工具和理論基礎。

基本介紹

  • 中文名:邏輯代數
  • 外文名:algebra of logic
  • 分類:數學
  • 提出:喬治 布爾
  • 時間:19世紀中葉
  • 基本邏輯:兩種
基本介紹,乘法加法原理,與邏輯和乘法,或邏輯和加法,基本規則,代入規則,對偶規則,反演規則,邏輯函式,標準形式,最小項,最大項,化簡,其他,邏輯代數,類代數,命題代數,

基本介紹

邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學基礎。邏輯代數是由英國科學家喬治·布爾(George·Boole)創立的,故又稱布爾代數。當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時(如0、1、2或更多狀態時),其通用模型的基本邏輯有2個邏輯代數又稱布爾代數。
布爾布爾
一個是從一種狀態變為另一種狀態的邏輯,是一個一元邏輯;
另外一種是兩種狀態中按照某種規則(比如比較大小)有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯,這是一個二元邏輯。依據這兩種邏輯,可以表達任意多狀態的任意邏輯關係,即最小表達式。即任意多狀態的邏輯是完備的。當邏輯狀態數擴展有理數量級甚至更多。任意數學運算都可以用兩個運算關係來聯合表達:加減法和比較大小。
參與邏輯運算的變數叫邏輯變數,用字母A,B……表示。每個變數的取值非0 即1。0、1不表示數的大小,而是代表兩種不同的邏輯狀態。正、負邏輯規定:
邏輯代數邏輯代數
正邏輯體制規定:高電平為邏輯1,低電平為邏輯0。
負邏輯體制規定:低電平為邏輯1,高電平為邏輯0。
邏輯函式:如果有若干個邏輯變數(如A、B、C、D)按與、或、非三種基本運算組合在一起,得到一個表達式L。對邏輯變數的任意一組取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值與之對應,則稱L為邏輯函式。邏輯變數A、B、C、D的邏輯函式記為:L=f(A、B、C、D)

乘法加法原理

與邏輯和乘法

乘法原理中自變數因變數成立的必要條件,與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致,所以與邏輯和乘法對應。

或邏輯和加法

加法原理中自變數是因變數成立的充分條件,或邏輯的定義正好和加法原理的描述一致,所以或邏輯和加法對應。
乘法就是廣義的與邏輯運算,加法就是廣義的或邏輯運算。與邏輯運算可以看作是乘法的特例。或邏輯運算可以看作是加法的特例。
總之,乘法原理加法原理可以看作是與邏輯和或邏輯的定量表述;與邏輯和或邏輯可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

基本規則

代入規則

任何一個含有變數 X 的等式,如果將所有出現 X 的位置,都代之以一個邏輯函式 F,此等式仍然成立。

對偶規則

設 F 是一個邏輯函式式,如果將 F 中的所有的 * 變成 +,+ 變成 *,0 變成 1,1 變成 0,而變數保持不變。那么就的得到了一個邏輯函式式 F',這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果兩個邏輯函式F 和 G 相等,則它們各自的對偶式F' 和 G' 也相等。
邏輯代數邏輯代數

反演規則

當已知一個邏輯函式F,要求 ¬F 時,只要把 F 中的所有 * 變成 +,+ 變成 *,0 變成 1,1 變成 0,原變數變成反變數,反變數變成原變數,即得 ¬F。運用反演規則時必須注意一下兩個原則:(1)保持原來的運算優先權,即先進行與運算,後進行或運算。並注意優先考慮括弧內的運算。(2)對於反變數以外的非號應保留不變。。

邏輯函式

標準形式

邏輯變數的邏輯與運算叫做與項,與項的邏輯或運算構成了邏輯函式的與或式,也叫做積之和式(SP form)。
邏輯變數的邏輯或運算叫做或項,或項的邏輯與運算構成了邏輯函式的或與式,也叫做和之積式(PS form)。
邏輯代數邏輯代數

最小項

在n變數邏輯函式中,若m為包含n個因子的乘積項,而且n個變數均以原變數或反變數的形式在m中出現一次,則稱m為該組變數的最小項
  • 性質:
    ①在輸入變數的任何一取值下必有一個最小項,而且僅有一個最小項的值為1。
    ②任意兩個最小項的乘積為0。
    ③全體最小項之和為1。
    ④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合併為一項並消去一個因子。
    ⑤n個變數的最小項數目為2n

最大項

在n變數邏輯函式中,若M為n個變數的和,而且這n個變數均以原變數或反變數的形式在M中出現一次,則稱M為該組變數的最大項
  • 性質:
    ①在輸入變數的任何取值下,必有一個,而且只有一個最大項的值是0。
    ②任意兩個最大項之和為1。
    ③全體最大項之積為0。
    ④只有一個變數不同的兩個最大項的乘積等於各相同變數之和。
    ⑤ m個變數的最大項數目為㎡

化簡

運用邏輯代數的基本公式及規則可以對邏輯函式進行變換,從而得到表達式的最簡形式。這裡所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式,它們的判別標準有兩條:⑴項數最少;⑵在項數最少的條件下,項內的文字最少。卡諾圖是遵循一定規律構成的。由於這些規律,使邏輯代數的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現,從而使它成為公式證明、函式化簡的有力工具。
邏輯代數邏輯代數

其他

邏輯代數

邏輯代數是按一定的邏輯關係進行運算的代數,是分析和設計數字電路的數學工具。在邏輯代數,只有0和1兩種邏輯值, 有與、或、非三種基本邏輯運算,還有與或、與非、與或非、異或幾種導出邏輯運算。
邏輯是指事物的因果關係,或者說條件和結果的關係,這些因果關係可以用邏輯運算來表示,也就是用邏輯代數來描述。事物往往存在兩種對立的狀態,在邏輯代數中可以抽象地表示為 0 和 1 ,稱為邏輯0狀態和邏輯1狀態。
邏輯代數中的變數稱為邏輯變數,用大寫字母表示。邏輯變數的取值只有兩種,即邏輯0和邏輯1,0 和 1 稱為邏輯常量,並不表示數量的大小,而是表示兩種對立的邏輯狀態。
其規定:
⒈所有可能出現的數只有0和1兩個。
⒉基本運算只有“與”、“或”、“非”三種。
與運算(邏輯與、邏輯乘)定義為:
0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1
或運算(邏輯或、邏輯加)定義為:
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
至此布爾代數宣告誕生。
二、基本公式
如果用字母來代替數(字母的取值非0即1),根據布爾定義的三種基本運算,我們馬上可推出下列基本公式:
A·A=A A+A=A
A·0=0 A+0=A
A·1=A A+1=1
上述公式的證明可用窮舉法。如果對字母變數所有可能的取值,等式兩邊始終相等,該公式即告成立。

類代數

類代數是類邏輯的代數化。所謂類邏輯是從外延上理解的一階一元謂詞的邏輯。一元謂詞的外延指稱該謂詞所適用的個體的類。由論域中所有個體組成的類叫全類,記作 1。不含有任何事物的類叫空類,記作0。考慮全類的所有子類,即包含於其中的類(包括1和0),令a,b,с,…為這樣的類變元。由論域中不屬於a類的個體組成的類叫做a的補,記作a'。由或屬於a類或屬於b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯和(並類),記作a∪b。由既屬於 a類又屬於 b類的個體組成的類叫做a與b的邏輯積(交類),記作a∩b,簡記作ab。如果a類與b類所含的個體相同,則稱a與b等同,記作a=b。a與b不等同記作a≠b。1和0是兩個特定的類常元。此外,還可以通過定義引入包含於關係,例如把a和b定義為a∩b' =0。
在類代數中,不帶有主詞存在斷定的直言命題aAb、aEb、aIb和aOb,可表示為a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。傳統邏輯中三段論第1格 AAA式可表示為:
如果с∩b' =0且a∩с' =0,則a∩b' =0。第3格EIO式可表示為:
如果с∩b=0且с∩a≠0,則a∩b' ≠0。類代數的運算滿足下表中列出的基本定律。
冪等律 a∪a=a
a∩a=a
交換律 a∪b=b∪a
a∩b=b∩a
結合律 a∪(b∪с)=(a∪b)∪с
a∩(b∩с)=(a∩b)∩с
吸收律 a∪(a∩b)=a
a∩(a∪b)=a
分配律 a∪(b∩с)=(a∪b)∩(a∪с)
a∩(b∪с)=(a∩b)∪(a∩с)
麼元律 0∪a =a
1∩a =a
1∪a =1
0∩a =0
補余律 a∪a' =1
a∩a' =0
從這些定律出發,特別是只需以其中的交換律分配律、前兩個麼元律和補余律作為初始定律即公理,就可以推導出類邏輯的所有定律(定理)。類邏輯的內容比傳統的三段論理論要豐富得多,大致相當於只包含一元謂詞的一階謂詞邏輯(見謂詞邏輯)。一般的謂詞邏輯也可以用更進一步的代數方法處理,但已超出通常所謂的邏輯代數的範圍。

命題代數

命題代數在結構上與類代數完全相同。只要對類代數中的符號另作命題邏輯的解釋,或者乾脆改為相應的命題邏輯符號,就得到命題代數。即把類變元改為命題變元p,q,r,…;改為否定詞填(“並非”);∪改為析取詞∨(“或者”);∩改為合取詞∧(“並且”)。1和0分別解釋為特定的邏輯上真的命題和邏輯上假的命題,或稱有效命題和矛盾命題;=表示兩命題邏輯上等值。這時,填、∨和∧作為命題運算正好滿足形式上與類代數的基本定律相對應的定律,而整個命題代數可包括命題邏輯的全部內容。命題代數和類代數可以有各種形式的公理系統,尤其是都可以有關於布爾展開式的定理,它相當於命題邏輯中的優析取範式和優合取範式的定理。
邏輯代數與命題代數有所不同。它還可以把1和0分別解釋為命題的真和假,令變元只取1和0為值,即令其為二值的真值變元,並把填、∨和∧解釋為真值運算,從而得到一種提供命題真值運算定律的真值代數。而且,在二值的真值代數中特別可以有定理“p=1或p=0”,但在一般的命題代數和類代數中卻沒有與此相應的定理。

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